Robin Rüßmann

• We study integration and \(L^2\)-approximation of functions in infinite or finite tensor products of Hilbert spaces; our main interest lies in the infinite-variate case. As univariate building blocks of the tensor product, for \(j\in\mathbb{N}\) we consider Hilbert spaces \(H(k_j)\) with reproducing kernels \(k_j\), whose elements are functions on a domain \(D\subseteq\mathbb{R}\). Additionally we assume that the \(H(k_j)\) are spaces of square-integrable functions with respect to a probability measure \(\mu_0\). Commonly studied examples are \(D=[0,1]\) with the uniform distribution \(\mu_0\), as well as \(D=\mathbb{R}\) with the standard normal distribution \(\mu_0\). For \(d\in\mathbb{N}\) or \(d=\infty\), we study integration or \(L^2\)-approximation on the space \(H(\bigotimes_{j=1}^dk_j)\) with respect to the product measure \(\bigotimes_{j=1}^d\mu_0\). To ensure that problems can be solved with reasonable costs and errors in the infinite-variate and the high dimensional case, intuitively speaking, the univariate problems on \(H(k_j)\) have to become easier sufficiently fast as \(j\) increases. We represent this mathematically with the help of suitable smoothness parameters. We study the important special case that the kernels \(k_j\) are given by \[k_j(x,y) = \sum_{\nu\in\mathbb{N}} {\alpha_{\nu,j}^{-1}h_\nu(x)h_\nu(y)},\] where \((h_\nu)_{\nu\in\mathbb{N}}\) is an orthonormal basis in \(L^2(\mu_0)\) and \((\alpha_{\nu,j})_{\nu,j\in\mathbb{N}}\) is a family of positive real Fourier weights. In this case, the growth of the Fourier weights in \(j\) quantifies how fast the univariate problems become easier. As an important example, we study the Hermite polynomials \(h_\nu\) with the standard normal distribution \(\mu_0\) on \(\mathbb{R}\), which leads to Hermite spaces. We determine the polynomial decay of the \(n\)-th minimal errors of the infinite-variate problem in terms of the Fourier weights. The second important special case we study are spaces \(H(k_j)\) whose kernels are given as Gaussian radial basis functions (Gaussian kernels), while our problems are again based on the standard normal distribution \(\mu_0\). We establish the following transference result between spaces with Gaussian kernels and Hermite spaces: The is a one-to-one-correspondence between spaces with Gaussian kernels and Hermite spaces with exponential growth of the Fourier weights such that the integration problem is equivalent on corresponding spaces. An analogue result holds true for the \(L^2\)-approximation problem. Utilizing this equivalence, we are able to constructively transfer upper and lower error bounds from one type of space to the other. In particular we construct almost optimal algorithms for spaces with Gaussian kernels in the infinite-variate case. Additionally, we are able to improve some known results in the finite-variate case.
• Wir untersuchen die Integration und die \(L^2\)-Approximation von Funktionen in unendlichen oder endlichen Tensorprodukten von Hilberträumen; unser Hauptaugenmerk liegr auf dem unendlichvariaten Fall. Als univariate Bausteine des Tensorprodukts betrachten wir für \(j\in\mathbb{N}\) Hilberträume \(H(k_j)\) mit reproduzierenden Kernen \(k_j\), deren Elemente Funktionen mit Definitionsbereich \(D\subseteq\mathbb{R}\) sind. Zusätzlich nehmen wir an, dass die \(H(k_j)\) Räume quadratintegrierbarer Funktionen bezüglich eines Wahrscheinlichkeitsmaßes \(\mu_0\) auf \(D\) sind. Häufig untersuchte Fälle sind \(D=[0,1]\) mit der Gleichverteilung \(\mu_0\), sowie \(D=\mathbb{R}\) mit der Standardnormalverteilung \(\mu_0\). Für \(d\in\mathbb{N}\) oder \(d=\infty\) betrachten wir dann das Integrations- oder das \(L^2\)-Approximationsproblem auf dem Raum \(H(\bigotimes_{j=1}^dk_j)\) bezüglich des Produktmaßes \(\bigotimes_{j=1}^d\mu_0\). Damit im unendlichvariaten oder hochdimensionalen Fall Probleme mit vertretbaren Kosten und Fehlern gelöst werden können, müssen anschaulich gesprochen für große \(j\) die univariaten Probleme auf \(H(k_j)\) hinreichend schnell einfacher werden. Mathematisch bilden wir dies mit geeigneten Glattheitsparametern ab. Wir untersuchen den wichtigen Spezialfall, dass die Kerne \(k_j\) gegeben sind durch \[k_j(x,y) = \sum_{\nu\in\mathbb{N}} {\alpha_{\nu,j}^{-1}h_\nu(x)h_\nu(y)},\] wobei \((h_\nu)_{\nu\in\mathbb{N}}\) eine Orthonormalbasis in \(L^2(\mu_0)\) und \((\alpha_{\nu,j})_{\nu,j\in\mathbb{N}}\) eine Familie positiver reeller Fouriergewichte ist. In diesem Fall quantifiziert der Wachstum der Fouriergewichte in \(j\), wie schnell die univariaten Probleme einfacher werden. Als wichtiges Beispiel untersuchen wir die Hermitepolynome \(h_\nu\) mit der Standardnormalverteilung \(\mu_0\) auf \(\mathbb{R}\), was zu den Hermiteräumen führt. Wir bestimmen das polynomielle Abfallverhalten des \(n\)-ten minimalen Fehlers des unendlichvariaten Problems in Abhängigkeit von den Fouriergewichten und konstruieren fast optimale Algorithmen. Der zweite wichtige Spezialfall, den wir untersuchen, sind Räume \(H(k_j)\), deren Kerne als Gaußsche radiale Basisfunktionen (Gaußkerne) gegeben sind, wobei wir für die betrachteten Probleme wieder die Standardnormalverteilung \(\mu_0\) zugrunde legen. Wir etablieren folgendes Transferresultat zwischen Räumen mit Gaußkern und Hermiteräumen: Es existiert eine eins-zu-eins-Beziehung zwischen Räumen mit Gaußkern und Hermiteräumen mit exponentiellen Fouriergewichten, sodass das Integrationsproblem auf korrespondierenden Räumen auf dem Level der Algorithmen äquivalent ist. Eine analoge Aussage gilt für das \(L^2\)-Approximationsproblem. Mit dieser Äquivalenz ist es uns möglich, obere und untere Fehlerschranken für einen Typ von Raum konstruktiv auf den anderen zu übertragen. Insbesondere konstruieren wir im unendlichvariaten Fall so auch für Räume mit Gaußkernen fast optimale Algorithmen und können zusätzlich im endlichvariaten Fall einige bekannte Ergebnisse verbessern.