Fabian Mäurer

• Tensor and fusion categories arise throughout modern algebra and mathe- matical physics. They appear as representation categories of groups, Lie alge- bras and Hopf algebras, as well as in the theory of subfactors and even through topological phases of matter. In particular, fusion categories arising from sub- factors are of special interest due to their close connection to conformal field theories and their construction. This thesis develops computational methods for determining the Drinfeld center of a fusion category and for explicitly computing its structural data. These methods are applied to the Haagerup subfactor, the smallest known exotic subfactor for which no conformal field theory has been found. The unitary 𝐹-symbols of its center are computed numerically and non-unitary 𝐹- symbols symbolically. This yields complete associator data for this example. Furthermore, the centers of all multiplicity-free fusion categories of rank at most five are determined. A further algorithmic contribution concerns the construction of module categories over fusion categories. Module categories are realized explicitly via algebra objects, and an algorithm for computing modules over separable algebras is provided. This construction also produces new fusion categories in the form of categories of bimodules for which explicit 𝐹-symbols can be computed. Finally, the algorithms presented are implemented in the open-source soft- ware package TensorCategories.jl, which made available as part of this thesis. The package is based on the open-source project Oscar.jl which is developed in the scope of the SFB-TRR 195. This implementation allows for the practical application of the developed methods to a wide range of examples of fusion categories, as well as their centers and module categories.
• Tensor- und Fusionskategorien treten in der modernen Algebra und mathe- matischen Physik in vielfältiger Weise auf. Sie erscheinen als Darstellungskat- egorien von Gruppen, Lie-Algebren und Hopf-Algebren, sowie in der Theorie der Unterfaktoren und auch durch topologische Phasen von Materie. Insbeson- dere Fusionskategorien, die aus der Unterfaktortheorie stammen, sind aufgrund ihrer engen Verbindung zur konformen Feldtheorien und deren Konstruktion von besonderem Interesse. In dieser Arbeit werden algorithmische Methoden zur Bestimmung des Drinfeld Zentrums einer Fusionskategorie sowie zur expliziten Berechnung ihrer strukturellen Daten entwickelt. Diese Methoden werden auf den Haagerup- Unterfaktor angewendet, dem kleinsten bekannten exotischen Unterfaktor, zu dem bislang keine konforme Feldtheorie bekannt ist. Es werden unitäre 𝐹- Symbole dessen Zentrums numerisch und nicht unitäre 𝐹-symbole symbolisch berechnet. Dies liefert explizite Assoziatoren für dieses Beispiel. Darüber hin- aus werden die Drinfeld-Zentren aller multiplizitätsfreien Fusionskategorien vom Rang höchstens fünf bestimmt. Einen weiteren algorithmischen Beitrag stellt die Konstruktion von Mod- ulkategorien über Fusionskategorien dar. Modulkategorien werden explizit über Algebraobjekte realisiert, und es wird ein Algorithmus zur Berechnung von Moduln über separablen Algebren vorgestellt. Diese Konstruktion er- möglicht auch das Berechnen neuer Fusionskategorien, für die explizite 𝐹- Symbole berechnet werden können. Letztlich wurden die vorgestellten Algorithmen in dem Open-Source Soft- warepaket TensorCategories.jl implementiert, das im Rahmen dieser Arbeit zur Verfügung gestellt wird. Das Paket basiert auf dem open-source Projekt Oscar.jl, das im Rahmen des SFB-TRR 195 entwickelt wird. Diese Imple- mentierung ermöglicht die praktische Anwendung der entwickelten Methoden auf eine Vielzahl von Fusionskategorien, sowie deren Zentren und Modulkate- gorien.