Mark-Oliver Wolf

• Life insurers make long-term promises under financial, biometric, behavioral, and managerial uncertainty. Under Solvency II, the capital required to support these promises is summarized by the Solvency Capital Requirement (SCR), which is derived from the lower tail of the basic own funds, here referred to as Available Capital (AC), one year into the future. To estimate the AC, we need the market-consistent valuation of assets and liabilities that in general require another set of simulations. This leads to the costly nested-simulation problem. We study how modelling, valuation, discretization, and proxy choices affect the estimation of AC distributions and SCR values. Our first contribution is openIRM, an open source internal risk model for an artificial life insurer. It combines an economic scenario generator, asset-liability management, risk-factor modelling, and cash-flow projection, and estimates AC distributions and SCR values under changing market data. This provides a public and reproducible benchmark for comparing actuarial methods and serves as the basis for the numerical studies in the following chapters. We then focus on direct and indirect valuation views of AC in a risk-neutral pricing framework. We see that both methods estimate the same economic value through different cash-flows. A simplified equivalence proof leads to mixed control-variate estimators. Our numerical studies show that, depending on the level of asset-liability coupling, they can significantly reduce the original estimator’s variance. We further examine discretization in the G2++ interest-rate model by comparing exact joint sampling with Euler-Maruyama inside openIRM. The experiments show that discretization errors can accumulate and affect discounted cash flows, AC distributions, and SCR ratios. Finally, we consider uncertainty-aware proxy models for SCR estimation. They replace expensive inner simulations by a fitted machine learning model of the AC functional. We separate aleatoric from epistemic uncertainty and compare heteroskedastic Gaussian process regression with ensemble neural networks under cost constraints from openIRM. The ensemble neural networks baseline gives the strongest estimates in the leading configurations, while sequential design improves performance only in selected cases. Taken together, these results argue for actuarial methods that are aware of the persistent tension between excessive simplification and unnecessary detail. Small modelling and implementation choices can propagate through the simulation pipeline and reach the SCR-relevant tail. Reliable internal-model methodology should make these choices visible and use the underlying economic structure to guide efficient computation.
• Lebensversicherer geben langfristige Versprechen unter finanzieller, biometrischer, verhaltensbezogener und managementbezogener Unsicherheit. Unter Solvency II wird die Zuverlässigkeit dieser Versprechen durch die Solvenzkapitalanforderung (SCR) sicher gestellt. Diese werden aus dem unteren Tail der Verteilung der Basiseigenmittel in einem Jahr abgeleitet, welche wir im weiteren als verfügbares Kapital (AC) bezeichnen. Um das AC zu schätzen, benötigen wir marktkonsistente Bewertungen von Vermögenswerten (Assets) und Verbindlichkeiten (Liabilities). Dafür brauchen wir üblicherweise eine weitere Simulation. Dies führt zu teuren, verschachtelten Simulationen. Wir untersuchen wie sich Modellierung, Bewertung, Diskretisierung und Wahl des Proxy-Modells auf die Schätzung der AC-Verteilung und den SCR auswirken. Unser erster Beitrag ist openIRM, ein internes Risikomodell für einen künstlichen Lebensversicherer bereitgestellt als Open Source. Es kombiniert einen ökonomischen Szenariogenerator, Asset-Liability-Management, Risikofaktormodellierung und Zahlungsstromprojektion. Das Modell schätzt Verteilungen des AC und SCR unter wechselnden Marktbedingungen. Damit stellen wir eine öffentliche und reproduzierbare Benchmark zum Vergleichen von aktuariellen Methoden bereit. Das Modell dient weiterhin als Grundlage für die numerische Studien in späteren Kapiteln. Anschließend untersuchen wir direkte und indirekte Bewertungsweisen des AC für einen zugrundeliegenden risikoneutralen Markt. In diesem Rahmen schätzen beide Methoden denselben ökonomischen Wert für das Available Capital, auch wenn sich ihre Monte-Carlo-Varianzen stark unterscheiden können. Ein vereinfachter Äquivalenzbeweis führt zu neuen, gemischten Bewertungsweisen, welche auch als Kontrollvariablen genutzt werden. Unsere numerischen Analysen zeigen, dass die Leistung der Schätzer von dem Grad der Kopplung zwischen Assets und Liabilities abhängt, wodurch es teilweise zu starken Reduzierungen der Varianz unseres initialen Schätzers kommt. Außerdem untersuchen wir Effekte der Diskretisierung im G2++-Zinsmodell, indem wir eine exakte Implementierung mit der marktüblichen Euler-Maruyama-Approximation in openIRM vergleichen. Die Experimente zeigen, dass sich Diskretisierungsfehler akkumulieren und diskontierte Zahlungsströme sowohl AC-Verteilung als auch SCR-Quoten beeinflussen können. Unser letzter Beitrag untersucht unsicherheitsbewusste Proxy-Modelle für die SCR-Schätzung. Sie ersetzen teure innere Simulationen durch ein angepasstes Modell des maschinellen Lernens. Die Arbeit trennt aleatorische von epistemischer Unsicherheit und vergleicht heteroskedastische Gaußsche-Prozess-Regression mit Ensembles neuronaler Netze bei Kostenbeschränkungen, welche wir aus openIRM ableiten. Ensembles neuronaler Netze liefern die besten Schätzungen, während sequenzielles Design beziehungsweise aktives Lernen die Leistung nur in ausgewählten Fällen verbessert. Zusammenfassend stellen wir fest, dass sich aktuarielle Methoden dem dauerhaften Spannungsfeld zwischen zu viel Vereinfachung und zu hohem Detailgrad sehr bewusst sein müssen. Kleine Modell- und Implementierungsentscheidungen können bis zum Ende der Simulationspipeline propagieren und den SCR beeinflussen. Zuverlässige Methoden für interne Modelle sollten diese Entscheidungen klar erkennbar machen und zugrundeliegende ökonomischen Strukturen nutzen, um effiziente und trotzdem sichere Algorithmen zu ermöglichen.