Bernhard Böhmler

• Trivial source modules, also known as p-permutation modules, arise naturally in the representation theory of finite groups. They are the indecomposable direct summands of the permutation modules and have many interesting applications to modular representation theory. In order to do calculations with trivial source modules the ordinary characters of their lifts from positive characteristic p to characteristic zero are of particular interest. The "trivial source character tables" (also called "species tables of the trivial source ring") collect information about the character values of trivial source modules with all possible vertices, as well as those of their Brauer constructions. One of the focal points of the present thesis is the computational treatment of these tables. We develop an algorithm which computes the trivial source character tables of all finite groups for any given prime number. This algorithm is only limited by the capacity of the memory of the used computer. Implementations of this algorithm in the computer algebra systems GAP and MAGMA are given. In order to implement it in the open source system GAP, it was necessary to write a program that computes the projective indecomposable modules of a group algebra. This code is also included. The computed trivial source character tables are saved into a database. In the theoretical part of this thesis, we determine the trivial source characters of all block algebras of domestic representation type. Using this result, we work out the trivial source character tables of the infinite family D4v of dihedral groups of order 4v, where v is an odd integer, in characteristic 2. Moreover, we compute the trivial source character tables of the alternating groups A4 , A5 and the matrix groups SL2(11), PSL2(11), SL2(13), and PSL2(13) in characteristic 2 theoretically. An application of trivial source character tables is given by p-permutation equivalences, since they are induced by chain complexes consisting only of bimodules which are trivial source modules. These equivalences are connected to Broué’s abelian defect group conjecture which predicts a categorical equivalence between a block and its Brauer correspondent with isomorphic abelian defect groups. As the number of p-permutation equivalences between two blocks is always finite, it is feasable to calculate all p-permutation equivalences using computer algebra and we briefly present one possible computational approach.
• In der Darstellungstheorie endlicher Gruppen sind sogenannte Moduln mit trivialen Quellen, auch bekannt als p-Permutationsmoduln, von weitreichendem Interesse. Moduln mit trivialen Quellen sind die unzerlegbaren direkten Summanden von Permutationsmoduln. Sie haben viele Anwendungen in der modularen Darstellungstheorie. Um mit diesen Moduln konkrete Berechnungen durchführen zu können, betrachtet man ihre "Lifts" von Charaktersitik p zu Charakteristik 0 sowie die zugehöhrigen gewöhnlichen Charaktere. Eine "Charaktertafel der Moduln mit trivialen Quellen" enthält in der ersten Blockspalte die Auswertungen der gewöhnlichen Charaktere der Moduln mit trivialen Quellen an den p- regulären Elementen. Die weiteren Blockspalten enthalten die Charakterwerte der Brauer-Konstruktionen. Eines der Hauptziele der vorliegenden Arbeit ist die computerbasierte Bestimmung dieser Charaktertafeln. Wir entwickeln einen Algorithmus zur Berechnung der Charaktertafeln der Moduln mit trivialen Quellen für beliebige endliche Gruppen und Primzahlen. Dieser Algorithmus ist nur durch die Speicherkapazität des verwendeten Computers beschränkt. Wir stellen unsere Implementierungen in den Computeralgebrasystemen GAP und MAGMA hiervon vor. Dafür war es bei dem quelloffenen Computeralgebrasystem GAP nötig, ein Programm zur Berechnung der projektiven unzerlegbaren Moduln einer Gruppenalgebra zu schreiben. Dieses ist ebenfalls Teil dieser Arbeit. Die berechneten Charaktertafeln der Moduln mit trivialen Quellen werden ferner in einer Datenbank ge- speichert. Im theoretischen Teil dieser Arbeit bestimmen wir die gewöhnlichen Charaktere der Moduln mit trivialen Quellen für alle domestizierten Blockalgebren. Dies verwenden wir, um die Charaktertafeln der Moduln mit trivialen Quellen für die unendliche Familie der Diedergruppen D4v von Ordnung 4v in Charakteristik 2 zu berechnen, wobei v eine ungerade natürliche Zahl ist. Weiterhin ermitteln wir die Charaktertafeln der Moduln mit trivialen Quellen für die alternierenden Gruppen A4 und A5 sowie für die Matrixgruppen SL2(11), PSL2(11), SL2(13) und PSL2(13) in Charakteristik 2. Eine Anwendung von Moduln mit trivialen Quellen sind sogenannte p-Permutationsäquivalenzen, welche von Kettenkomplexen induziert werden, die nur aus Bimoduln mit trivialen Quellen bestehen. Es besteht ein interessanter Zusammenhang zwischen diesen Äquivalenzen und Broués Vermutung über abelsche Defektgruppen. Diese Vermutung sagt eine kategorielle Äquivalenz zwischen einem Block und seinem Brauerkorrespondenten mit isomorphen abelschen Defektgruppen voraus. Da es immer nur endlich viele p- Permutationsäquivalenzen zwischen zwei fest gewählten Blockalgebren gibt, ist es möglich, alle p-Permutationsäquivalenzen konkret zu berechnen. Wir präsentieren einen Ansatz, wie dies mit einem Computeralgebrasystem realisiert werden kann.