Ali Traore

• In this thesis, we explore the relation between mirror symmetry, algebraic geometry, tropical geometry, and computational methods to address two central challenges at the interface of mathematics and physics: evaluating multi-loop Feynman integrals in high-energy physics and computing Gromov-Witten invariants of elliptic curves. Our work bridges enumerative geometry and quantum field theory through innovative algorithms and parallel computing strategies. We generalize Feynman integral evaluations to include \(\psi\)-classes for descendant Gromov-Witten invariants, moving beyond trivalent graphs, and express higher-degree integrals as quasimodular forms (polynomials in Eisenstein series \(E_2\), \(E_4\), and \(E_6\)), facilitating number-theoretic analysis. Our first focus is to compute Gromov-Witten invariants via mirror symmetry, which relates these invariants to Feynman integrals associated with trivalent graphs. We develop an optimized algorithm that significantly outperforms existing methods, efficiently generating the series of these invariants. This algorithm uses tropical geometry as a combinatorial bridge, incorporates graph symmetries (e.g., multiple-edge structures), and employs signature matching to group equivalent Feynman integrals. We also prove a vanishing theorem, identifying conditions under which certain Feynman integrals vanish, reducing computational complexity. The Algorithm is implemented in \(\text{Singular}\) and \(\text{OSCAR}\), the latter uses \(\text{Julia}'s\) just-in-time compilation for faster execution, the algorithm is parallelized using \(\text{GPI-Space}\), a high-performance workflow management system developed by Fraunhofer ITWM, resulting in significant speedups for large-scale combinatorial computations. Our second focus addresses the computational challenge of multi-loop Feynman integrals in quantum field theory, where efficiency is critical due to their increasing complexity. We present a framework to automate their reduction using Integration-by-Parts (IBP) identities and sector decomposition. To exploit the sector structure of integration-by-parts relations of Feynman integrals in high energy physics, we introduce a novel approach: we develop an algorithm which translates the web of sectors into a directed acyclic graph (DAG). This graph is translated into a Petri net, which we then encode in the XPNet format. This format can then be executed by our implementation relying on the \(\text{Singular}/\text{GPI-Space}\) framework. This enables scalable, parallel IBP reductions by distributing tasks across multiple machines. This method significantly enhances the efficiency for high-energy physics computations.
• In dieser Arbeit untersuchen wir die Beziehung zwischen Spiegelsymmetrie, algebraischer Geometrie, tropischer Geometrie und computergestützten Methoden, indem wir zwei zentrale Fragestellungen an der Schnittstelle von Mathematik und Physik betrachten: die Auswertung von Multiloop-Feynman-Integralen in der Hochenergiephysik und die Berechnung von Gromov-Witten-Invarianten elliptischer Kurven. Die Arbeit wendet jeweils innovative Algorithmen und Parallelisierungsstrategien auf die Berechnung von Feynmanintegralen an. Wir verallgemeinern die Auswertung von Feynman-Integralen, um \(\psi\)-Klassen für descendant Gromov-Witten-Invarianten miteinbeziehen zu können, wobei wir über trivalente Graphen hinaus gehen. Ausserdem drücken wir Integrale höheren Grades als quasimodulare Formen (Polynome in Eisenstein-Reihen \(E_2\), \(E_4\) und \(E_6\)) aus, was deren zahlentheoretische Analyse erleichtert. Unser erster Schwerpunkt liegt auf der Berechnung von Gromov-Witten-Invarianten mittels Spiegelsymmetrie, die diese Invarianten mit Feynman-Integralen trivalenter Graphen in Beziehung setzt. Wir entwickeln einen optimierten Algorithmus, der existierende Methoden deutlich übertrifft und effizient die Reihen dieser Invarianten generiert. Dieser Algorithmus nutzt tropische Geometrie als Brücke zur Kombinatorik, berücksichtigt Graphensymmetrien (z.B. Mehrfachkantenstrukturen) und verwendet Signaturvergleich zur Gruppierung aquivalenter Feynman-Integrale. Wir beweisen zudem einen Verschwindungssatz, der Bedingungen identifiziert, unter denen bestimmte Feynman-Integrale verschwinden. Dies reduziert die Rechenkomplexität. Implementiert in \(\text{Singular}\) und \(\text{OSCAR}\) - letzteres nutzt \(\text{Julia}'s\) Just-in-Time-Kompilierung für verbesserte Performance - wird der Algorithmus mit \(\text{GPI-Space}\) parallelisiert, einem Hochleistungs Workflow-Management-System des Fraunhofer ITWM, das für großskalige kombinatorische Probleme eine Beschleunigung um Größenordnungen erreicht. Ein zentraler Schwerpunkt unserer Arbeit liegt auf den algorithmischen Herausforderungen von \emph{Multi-}\emph{loop-Feynman-Integralen} in der Quantenfeldtheorie. Aufgrund ihrer schnell wachsenden Komplexität ist eine effiziente Berechnung hier von entscheidender Bedeutung. Wir präsentieren einen Rahmen zur Automatisierung ihrer Reduktion mittels Partieller Integration (IBP) Identitäten und Sektorzerlegung. Wir verwenden einen neuen Ansatz, der die Sektorstruktur der IBP-Relationen von Feynman-Integralen in der Hochenergiephysik ausnutzt: Wir entwickeln einen Algorithmus, der das Netzwerk von Sektoren in einen gerichteten azyklischen Graphen (DAG) übersetzt. Dieser Graph wird in ein Petri-Netz überfuehrt, das im XPNet-Format kodiert ist. Dieses Format kann dann von unserer Implementierung verarbeitet werden, die auf dem \(\text{Singular}/\text{GPI-Space}\)-Framework basiert. Dies ermöglich skalierbare, parallele IBP-Reduktionen durch Verteilung der Aufgaben auf mehrere Rechner. Diese Methode verbessert die Effizienz für Berechnungen in der Hochenergiephysik signifikant.