Bernd Klimm

• Constructing accurate earth models from seismic data is a challenging task. Traditional methods rely on ray based approximations of the wave equation and reach their limit in geologically complex areas. Full waveform inversion (FWI) on the other side seeks to minimize the misfit between modeled and observed data without such approximation. While superior in accuracy, FWI uses a gradient based iterative scheme that makes it also very computationally expensive. In this thesis we analyse and test an Alternating Direction Implicit (ADI) scheme in order to reduce the costs of the two dimensional time domain algorithm for solving the acoustic wave equation. The ADI scheme can be seen as an intermediate between explicit and implicit finite difference modeling schemes. Compared to full implicit schemes the ADI scheme only requires the solution of much smaller matrices and is thus less computationally demanding. Using ADI we can handle coarser discretization compared to an explicit method. Although order of convergence and CFL conditions for the examined explicit method and ADI scheme are comparable, we observe that the ADI scheme is less prone to dispersion. Furhter, our algorithm is efficiently parallelized with vectorization and threading techniques. In a numerical comparison, we can demonstrate a runtime advantage of the ADI scheme over an explicit method of the same accuracy. With the modeling in place, we test and compare several inverse schemes in the second part of the thesis. With the goal of avoiding local minima and improving speed of convergence, we use different minimization functions and hierarchical approaches. In several tests, we demonstrate superior results of the L1 norm compared to the L2 norm – especially in the presence of noise. Furthermore we show positive effects for applying three different multiscale approaches to the inverse problem. These methods focus on low frequency, early recording, or far offset during early iterations of the minimization and then proceed iteratively towards the full problem. We achieve best results with the frequency based multiscale scheme, for which we also provide a heuristical method of choosing iteratively increasing frequency bands. Finally, we demonstrate the effectiveness of the different methods first on the Marmousi model and then on an extract of the 2004 BP model, where we are able to recover both high contrast top salt structures and lower contrast inclusions accurately.
• Die Konstruktion genauer Untergrundmodelle auf Basis seismischer Daten ist eine komplexe Aufgabe. Traditionelle Methoden nutzen strahlenbasierte Approximationen der Wellengleichung und stoßen in geologisch komplexen Gebieten an ihre Grenzen. Full Waveform Inversion (FWI) versucht hingegen den Fehler zwischen modellierten und gemessenen Daten ohne eine solche Approximation zu minimieren. FWI ist zwar in seiner Genauigkeit überlegen, es nutzt aber ein gradientenbasiertes iteratives Verfahren, wodurch es sehr rechenzeitaufwendig ist. In dieser Arbeit analysieren und testen wir ein Alternating Direction Implicit (ADI) Verfahren um die Kosten des zweidimensionalen Algorithmus im Zeitbereich zum Lösen der akustischen Wellengleichung zu reduzieren. Das ADI Verfahren kann als Mittelweg zwischen explizitem und implizitem finten Differenzen Schema angesehen werden. Verglichen mit dem voll-impliziten Verfahren müssen im ADI Schema nur viel kleinere Matrizen gelöst werden und daher werden geringere Rechenanforderungen gestellt. Durch die Verwendung von ADI können wir, verglichen mit einer expliziten Methode, gröbere Diskretisierung verwenden. Obwohl die Konvergenzordnung und die CFL Bedingung fur die explizite Methode und für das ADI Schema vergleichbar sind, beobachten wir, dass das ADI Verfahren weniger anfällig für Dispersion ist. Weiterhin wird unser Algroithmus durch Vektorisierung und Threading effizient parallelisiert. In einem numerischen Vergleich können wir einen Laufzeitvorteil des ADI Verfahrens gegenüber einer expliziten Methode mit gleicher Genauigkeit demonstrieren. Nach Beschreibung des Modelling Algorithmus testen und vergleichen wir verschiedene Inversionsschemata im zweiten Teil der Arbeit. Mit dem Ziel lokale Minima zu vermeiden und die Konvergenzrate zu verbessern, verwenden wir verschiedene Minimierungsfunktionen und hierarchische Ansätze. In mehreren Tests demonstrieren wir überlegene Resultate der L1 Norm gegenüber der L2 Norm – ganz besonders in der Gegenwart von Rauschen. Weiterhin zeigen wir positive Effekte für die Anwendung von drei verschiedenen Multiskalenverfahren für das inverse Problem auf. Diese Methoden fokussieren während der frühen Iterationen der Minimierung auf niedrige Frequenzen, frühe Aufzeichnung oder weit entfernte Offsets und fahren iterativ fort, indem sie sich dem gesamten Problem nahern. Die besten Resultate erreichen wir mit dem frequenzbasierten Verfahren, für welches wir auch eine heuristische Methode zum iterativen Wählen der aufsteigenden Frequenzbänder demonstrieren. Abschließend zeigen wir die Effektivität der verschiedenen Methoden, wobei wir zunäst das Marmousi Modell und anschließend einen Auszug des 2004 BP Modells betrachten, in welchem wir sowohl stark kontrastreiche Oberkannten der Salzstrukturen als auch wenig kontrastreiche Einschlüsse genau wiedergeben können.