Matthias Andres

• Laser-induced interstitial thermotherapy (LITT) is a minimally invasive procedure to destroy liver tumors through thermal ablation. Mathematical models are the basis for computer simulations of LITT, which support the practitioner in planning and monitoring the therapy. In this thesis, we propose three potential extensions of an established mathematical model of LITT, which is based on two nonlinearly coupled partial differential equations (PDEs) modeling the distribution of the temperature and the laser radiation in the liver. First, we introduce the Cattaneo–LITT model for delayed heat transfer in this context, prove its well-posedness and study the effect of an inherent delay parameter numerically. Second, we model the influence of large blood vessels in the heat-transfer model by means of a spatially varying blood-perfusion rate. This parameter is unknown at the beginning of each therapy because it depends on the individual patient and the placement of the LITT applicator relative to the liver. We propose a PDE-constrained optimal-control problem for the identification of the blood-perfusion rate, prove the existence of an optimal control and prove necessary first-order optimality conditions. Furthermore, we introduce a numerical example based on which we demonstrate the algorithmic solution of this problem. Third, we propose a reformulation of the well-known PN model hierarchy with Marshak boundary conditions as a coupled system of second-order PDEs to approximate the radiative-transfer equation. The new model hierarchy is derived in a general context and is applicable to a wide range of applications other than LITT. It can be generated in an automated way by means of algebraic transformations and allows the solution with standard finite-element tools. We validate our formulation in a general context by means of various numerical experiments. Finally, we investigate the coupling of this new model hierarchy with the LITT model numerically.
• Laserinduzierte interstitielle Thermotherapie (LITT) ist ein minimalinvasives Verfahren zur Bekämpfung von Lebertumoren durch thermische Ablation. Mathematische Modelle dienen als Grundlage für rechnergestützte Simulationen, die den behandelnden Arzt bei der Planung und Durchführung der Therapie unterstützen. In dieser Arbeit stellen wir drei mögliche Erweiterungen eines etablierten mathematischen Modells der LITT vor. Dieses besteht aus zwei nichtlinear gekoppelten partiellen Differentialgleichungen (PDE), welche die Verteilung der Temperatur und der Laserstrahlung im Lebergewebe beschreiben. Zuerst stellen wir das neu entwickelte Cattaneo–LITT-Modell zur Beschreibung von verzögertem Wärmetransport in diesem Zusammenhang vor. Wir beweisen, dass dieses wohlgestellt ist, und untersuchen numerisch den Effekt eines zugehörigen Verzögerungsparameters. Anschließend modellieren wir den Einfluss großer Blutgefäße im Wärmetransportmodell mit Hilfe einer ortsabhängigen Blutperfusionsrate. Dieser Parameter ist zu Beginn einer Therapie unbekannt, da er von dem jeweiligen Patienten und der Platzierung des Applikators relativ zur Leber abhängt. Wir entwickeln ein PDE-restringiertes Optimalsteuerungsproblem zur Identifikation der Blutperfusionsrate, beweisen die Existenz einer optimalen Steuerung und leiten notwendige Optimalitätsbedingungen erster Ordnung her. Wir stellen ein numerisches Modellbeispiel vor, anhand dessen wir die algorithmische Lösung dieses Problems demonstrieren. Außerdem entwickeln wir eine alternative Formulierung der etablierten PN Modellhierarchie mit Marshak-Randbedingungen zur Approximation der Strahlungstransportgleichung als gekoppeltes System von PDEs zweiter Ordnung. Die neue Modellhierarchie wird in einem allgemeinen Kontext hergeleitet und findet neben LITT ein breites Anwendungsgebiet. Sie kann auf Basis algebraischer Transformationen automatisch generiert werden und ermöglicht die Lösung mit Hilfe etablierter Finite-Elemente-Bibliotheken. Wir validieren unsere Formulierung in einem allgemeinen Kontext anhand verschiedener numerischer Experimente. Abschließend untersuchen wir numerisch die Kopplung der neuen Modellhierarchie mit dem LITT Modell.