Emil Rotilio

• Deligne-Lusztig theory allows the parametrization of generic character tables of finite groups of Lie type in terms of families of conjugacy classes and families of irreducible characters "independently" of \(q\). Only in small cases the theory also gives all the values of the table. For most of the groups the completion of the table must be carried out with ad-hoc methods. The aim of the present work is to describe one possible computation which avoids Lusztig's theory of "character sheaves". In particular, the theory of Gel'fand-Graev characters and Clifford theory is used to complete the generic character table of \(G={\rm Spin}_8^+(q)\) for \(q\) odd. As an example of the computations, we also determine the character table of \({\rm SL}_4(q)\), for \(q\) odd. In the process of finding character values, the following tools are developed. By explicit use of the Bruhat decomposition of elements, the fusion of the unipotent classes of \(G\) is determined. Among others, this is used to compute the 2-parameter Green functions of every Levi subgroup with disconnected centre of \(G\). Furthermore, thanks to a certain action of the centre \(Z(G)\) on the characters of \(G\), it is shown how, in principle, the values of any character depend on its values at the unipotent elements. It is important to consider \({\rm Spin}_8^+(q)\) as it is one of the "smallest" interesting examples for which Deligne--Lusztig theory is not sufficient to construct the whole character table. The reasons is related to the structure of \({\mathbf G}={\rm Spin}_8\), from which \(G\) is constructed. Firstly, \({\mathbf G}\) has disconnected centre. Secondly, \({\mathbf G}\) is the only simple algebraic group which has an outer group automorphism of order 3. And finally, \(G\) can be realized as a subgroup of bigger groups, like \(E_6(q)\), \(E_7(q)\) or \(E_8(q)\). The computation on \({\rm Spin}_8^+(q)\) serves as preparation for those cases.
• Die Deligne-Lusztig Theorie ist ein wichtiges Konstrukt in der Darstellungstheorie, mit welcher die Parametrisierung generischer Charaktertafeln endlicher Gruppen vom Lietyp durchgeführt werden kann. Diese Parametrisierung erfolgt durch Familien von Konjugiertenklassen und Familien irreduzibler Charaktere, welche "unabhängig" von \(q\) sind. Allerdings ergeben sich aller Werte einer Charaktertafel nur in kleinen Gruppen durch diese Theorie. Für die meisten Gruppen muss die Vervollständigung der Charaktertafel mithilfe von Ad-hoc-Methoden durchgeführt werden. Das Ziel dieser Arbeit ist es, eine mögliche Rechnung zu beschreiben, welche Lusztigs Theorie von "character sheaves" vermeidet. Insbesondere wird die generische Charaktertafel der Gruppe \(G={\rm Spin}_8^+(q)\) für ungerade Werte von \(q\) mithilfe von Gel'fand-Greav Charakteren und der Clifford Theorie vervollständigt. Wir bestimmen die Charaktertafel von \({\rm SL}_4(q)\), mit ungeradem \(q\), um ein Beispiel für die Rechnungen zu geben. Um die Charakterwerte zu berechnen, werden im Laufe der Arbeit verschiedene Werkzeuge entwickelt werden. So wird zum Beispiel durch die explizite Nutzung der Bruhat-Zerlegung von Gruppenelementen die Fusion unipotenter Klassen in \(G\) festgelegt. Dies wird unter anderem verwendet, um die 2-Parameter Green-Funktionen jeder Leviuntergruppe von \(G\) mit unzusammenhängendem Zentrum zu berechnen. Dank einer bestimmten Operation des Zentrums \(Z(G)\) auf den Charakteren von \(G\), kann weiterhin gezeigt werden, dass die Werte jedes Charakters im Prinzip nur von seinen Werten auf den unipotenten Elementen abhängen. Die Gruppe \({\rm Spin}_8^+(q)\) ist hier von besonderem Interesse, da diese Gruppe eines der "kleinsten" interessanten Beispiele ist, für welches die Deligne--Lusztig Theorie nicht genügt um die ganze Charaktertafel zu berechnen. Dies lässt sich auf die Struktur der Gruppe \({\mathbf G}={\rm Spin}_8\) zurückführen, von welcher \(G\) konstruiert wird. Zum einen hat \({\mathbf G}\) ein unzusammenhängendes Zentrum. Andererseits ist \({\mathbf G}\) die einzige einfache algebraische Gruppe, die einen Gruppenautomorphismus der Ordnung 3 besitzt. Schließlich kann \(G\) als eine Untergruppe größerer Gruppen wie \(E_6(q)\), \(E_7(q)\) oder \(E_8(q)\) aufgefasst werden. Die Berechnung für \({\rm Spin}_8^+(q)\) in dieser Arbeit wird als Vorbereitung für diese Fälle dienen.