Anne Dietrich

• Gliomas are one of the most common types of primary brain tumors. Among those, high grade astrocytomas - so-called glioblastoma multiforme - are the most aggressive type of cancer originating in the brain, leaving patients a median survival time of 15 to 20 months after diagnosis. The invasive behavior of the tumor leads to considerable difficulties regarding the localization of all tumor cells, and thus impedes successful therapy. Here, mathematical models can help to enhance the assessment of the tumor’s extent. In this thesis, we set up a multiscale model for the evolution of a glioblastoma. Starting on the microscopic level, we model subcellular binding processes and velocity dynamics of single cancer cells. From the resulting mesoscopic equation, we derive a macroscopic equation via scaling methods. Combining this equation with macroscopic descriptions of the tumor environment, a nonlinear PDE-ODE-system is obtained. We consider several variations of the derived model, amongst others introducing a new model for therapy by gliadel wafers, a treatment approach indicated i.a. for recurrent glioblastoma. We prove global existence of a weak solution to a version of the developed PDE-ODE-system, containing degenerate diffusion and flux limitation in the taxis terms of the tumor equation. The nonnegativity and boundedness of all components of the solution by their biological carrying capacities is shown. Finally, 2D-simulations are performed, illustrating the influence of different parts of the model on tumor evolution. The effects of treatment by gliadel wafers are compared to the therapy outcomes of classical chemotherapy in different settings.
• Unter den primären Hirntumoren stellen Gliome eine der häufigsten Arten dar. Die Unterart der hochgradigen Astrozytome - so genannte Glioblastome - sind dabei die aggressivste Form von Hirntumoren. Die mediane Überlebenszeit nach der Diagnose eines Glioblastoms beträgt nur etwa 15 bis 20 Monate. Insbesondere das stark invasive Verhalten dieser Tumorart führt zu erheblichen Schwierigkeiten bei der korrekten Lokalisation des Tumors und erschwert somit eine erfolgreiche Therapie. Mathematische Modelle können hier helfen, eine bessere Einschätzung der Ausbreitung des Tumors zu geben. Im Rahmen dieser Arbeit entwickeln wir ein Multiskalenmodell für die Entwicklung eines Glioblastoms. Beginnend auf der Mikroskala modellieren wir subzelluläre Bindungs- sowie Geschwindigkeitsdynamiken einzelner Krebszellen. Mit Hilfe von Skalierungsmethoden leiten wir aus der resultierenden mesoskopischen Gleichung für die einzelnen Krebszellen eine makroskopische Gleichung her. Zusammen mit makroskopischen Gleichungen für die Beschreibung der Tumorumgebung erhalten wir ein nichtlineares PDE-ODE-System. Wir betrachten verschiedene Modellierungsvarianten; dabei entwickeln wir auch ein neues Modell für die Therapie mit Gliadel Wafern, die unter anderem bei der Behandlung von Rezidiven zur Anwendung kommen. Für eine Abwandlung des entwickelten Modells zeigen wir die Existenz einer globalen schwachen Lösung. Das hierbei betrachtete PDE-ODE-System beinhaltet degenerierte Diffusion sowie Flusslimitierung in den Taxistermen der Tumorgleichung. Wir zeigen die Beschränktheit der Lösungskomponenten durch die jeweilige biologische Tragfähigkeit. Abschließend illustrieren wir in 2D-Simulationen den Einfluss verschiedener Modellbestandteile auf die Entwicklung des Tumors. Außerdem vergleichen wir die Auswirkungen der Therapie mit Gliadel Wafern mit denen der klassischen Chemotherapie in unterschiedlichen Einstellungen.