Max Mayer

• Polycyclic groups are from a computer algebraic perspective an interesting class of finitely generated groups. They are characterised by a normal series with cyclic factor groups. One can use this to represent elements of polycyclic groups as integer exponent vectors which allows explicit computations within these groups. The technological developments within the last fifty years enabled and fostered an increasing interest in more complex questions in this field. When working with infinite polycyclic groups one often faces the problem that fast computations are impeded by an exponential growth of the involved exponent vectors of intermediate results. Especially computing induced sequences for subgroups, which is an important core step for most specialized algorithms, proved to be vulnerable to these issues in the past. This work develops efficient methods which address these issues. For this we utilize the similarities between induced sequences and hermite normal forms for integer matrices, whose computation possess a broad theoretical foundation, which we transfer onto the polycyclic setting. In the second part of this work we look at the question on how to decide whether a polycyclic group is residually nilpotent. A group \(G\) is called residually nilpotent if every non-trivial element has a non-trivial image in a nilpotent quotient of \(G\). This question was already studied for other classes of groups (e.g. free groups). It is known that all polycyclic groups possess a residually nilpotent normal subgroup of finite index. However, deciding whether the original group is residually nilpotent itself appears to be more challenging. Existing Algorithms for polycyclic groups only possess theoretical character and haven't been designed for actual usage. In this work we want to address this issue and present effective solutions for the important subcase of polycyclic groups which have an abelian normal subgroup \(N\) such that the quotient group \(G/N\) is nilpotent. These groups often arise naturally as extensions of free abelian groups e.g. in number field theory and are used to construct many interesting examples. Understanding these groups might also help in developing a more general theory for arbitrary polycyclic groups.
• Polyzyklische Gruppen stellen aus Sicht der Computeralgebra eine interessante Klasse von endlich erzeugten Gruppen dar. Sie sind dadurch charakterisiert, dass sie über eine Normalreihe mit zyklischen Quotienten verfügen. Dadurch lassen sich Elemente polyzyklischer Gruppen im Computer durch ganzzahlige Exponentenvektoren darstellen, was es erlaubt explizite Berechnungen in diesen Gruppen durchzuführen. Die technischen Entwicklungen in den letzten fünfzig Jahren ermöglichten und förderten das Interesse an komplexeren Fragestellungen in diesem Bereich. Beim Arbeiten insbesondere mit unendlichen polyzyklischen Gruppen stellt sich aber oft das Problem, dass schnelle Berechnungen durch exponentielles Wachstum der involvierten Exponentenvektoren in Zwischenschritten erschwert werden. Insbesondere das Ermitteln induzierter Sequenzen für Untergruppen, ein zentraler Baustein der meisten spezialisierteren Algorithmen, erwies sich in der Vergangenheit als anfällig für derartige Probleme. In der vorliegenden Arbeit entwickeln wir effektive Methoden, die diese Problematik adressieren. Dabei nutzen wir Parallelen der induzierten Sequenzen mit Hermite-Normalformen ganzzahliger Matrizen aus, deren Berechnung bereits über eine breite theoretische Grundlage verfügen, und übertragen diese in den polyzyklischen Kontext. Im zweiten Teil dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit der Frage, wie man eine gegebene polyzyklische Gruppe auf residuelle Nilpotenz untersucht. Eine Gruppe \(G\) heißt residuell nilpotent, wenn jedes ihrer nicht-trivialen Elemente ein nicht-triviales Bild in einem nilpotenten Quotienten von \(G\) besitzt. Diese Fragestellung ist bereits für einige andere Klassen von Gruppen (bspw. freie Gruppen) untersucht worden. Im polyzyklischen Fall ist bekannt, dass alle polyzyklischen Gruppen einen residuell nilpotenten Normalteiler von endlichem Index besitzen. Es erweist sich aber als deutlich schwerer zu überprüfen, ob bereits die Gruppe selbst residuell nilpotent ist. Bisherige Algorithmen für polyzyklische Gruppen besitzen jedoch nur theoretischen Charakter und wurden nicht zur praktischen Anwendung konzipiert. In dieser Arbeit wollen wir dieses Problem angehen und präsentieren Lösungen für den wichtigen Teilfall der polyzyklischen Gruppen, die einen abelschen Normalteiler \(N\) besitzen, sodass der Quotient \(G/N\) nilpotent ist. Diese Gruppen treten häufig natürlich als Erweiterungen frei abelscher Gruppen auf (etwa in der Zahlkörpertheorie) und dienen der Konstruktion einer Vielzahl interessanter Beispiele. Dabei ist die Hoffnung, dass die hier gewonnenen Erkenntnisse dabei helfen, algorithmische Lösungen für den allgemeineren polyzyklischen Fall zu entwickeln.