## Immersed Interface Methods for Elliptic Boundary Value Problems

### Immersed Interface Methoden für elliptische Randwertproblemen

• In many industrial applications fast and accurate solutions of linear elliptic partial differential equations are needed as one of the building blocks of more complex problems. The domains are often highly complex and meshing turns out to be expensive and difficult to obtain with a sufficient quality. In such cases methods with a regular, not boundary adapted grid offer an attractive alternative. The Explicit Jump Immersed Interface Method is one of these algorithms. The main interest of this work lies in solving the linear elasticity equations. For this purpose the existing EJIIM algorithm has been extended to three dimensions. The Poisson equation is always considered in parallel as the most typical representative of elliptic PDEs. During the work it became clear that EJIIM can have very high computational memory requirements. To overcome this problem an improvement, Reduced EJIIM is proposed. The main theoretical result in this work is the proof of the smoothing property of inverses of elliptic finite difference operators in two and three space dimensions. It is an often observed phenomena that the local truncation error is allowed to be of lower order along some lower dimensional manifold without influencing the global convergence order of the solution.
• Viele industrielle Anwendungen benötigen schnelle und genaue Lösungsverfahren für lineare elliptische partielle Differentialgleichungen als grundlegende Bausteine. Da die Gebiete von industrieller Relevanz meist eine komplizierte Geometrie aufweisen, ist die Gittergenerierung aufwendig und teilweise nur schwer oder gar nicht in der gewünschten Qualität zu erreichen. In solchen Fällen bieten Methoden basierend auf einem regulären, nicht randadaptierten Gitter eine attraktive Alternative an. Die Explicit Jump Immersed Interface Methode (EJIIM) gehört zu diesen Algorithmen. Das Hauptinteresse der Arbeit gilt dem numerischen Lösen der linearen Elastizitätsgleichungen. Für diesen Zweck wird der existierende EJIIM Algorithmus auf drei Raumdimensionen erweitert. Parallel dazu wird das Verfahren auch für die Poissongleichung als dem paradigmatischen Vertreter elliptischer PDG mitentwickelt. Während der programmiertechnischen Umsetzung von EJIIM stellte sich heraus, dass das Verfahren mitunter einen sehr großen Arbeitsspeicher beansprucht. Um dieses Problem zu überwinden, wird eine Verbesserung, das sogenannte reduzierte EJIIM Verfahren vorgeschlagen. Es ist ein oft beobachtetes Phänomen, dass der lokale Diskretisierungsfehler entlang eines Randes von geringerer Ordnung sein darf als im Inneren eines zwei- oder dreidimensionalen Volumens, ohne dabei die globale Konvergenzordnung zu vermindern. Der Beweis dieser Glättungseigenschaft inverser elliptischer Finite-Differenzen-Operatoren ist das wichtigste Resultat der Arbeit in theoretischer Hinsicht.