Cornelia Rottner

• In modern algebraic geometry solutions of polynomial equations are studied from a qualitative point of view using highly sophisticated tools such as cohomology, \(D\)-modules and Hodge structures. The latter have been unified in Saito’s far-reaching theory of mixed Hodge modules, that has shown striking applications including vanishing theorems for cohomology. A mixed Hodge module can be seen as a special type of filtered \(D\)-module, which is an algebraic counterpart of a system of linear differential equations. We present the first algorithmic approach to Saito’s theory. To this end, we develop a Gröbner basis theory for a new class of algebras generalizing PBW-algebras. The category of mixed Hodge modules satisfies Grothendieck’s six-functor formalism. In part these functors rely on an additional natural filtration, the so-called \(V\)-filtration. A key result of this thesis is an algorithm to compute the \(V\)-filtration in the filtered setting. We derive from this algorithm methods for the computation of (extraordinary) direct image functors under open embeddings of complements of pure codimension one subvarieties. As side results we show how to compute vanishing and nearby cycle functors and a quasi-inverse of Kashiwara’s equivalence for mixed Hodge modules. Describing these functors in terms of local coordinates and taking local sections, we reduce the corresponding computations to algorithms over certain bifiltered algebras. It leads us to introduce the class of so-called PBW-reduction-algebras, a generalization of the class of PBW-algebras. We establish a comprehensive Gröbner basis framework for this generalization representing the involved filtrations by weight vectors.
• In der modernen algebraischen Geometrie werden polynomiale Gleichungen von einem qualitativen Standpunkt unter Verwendung von hoch entwickelten Konzepten wie zum Beispiel Kohomologie, \(D\)-Moduln und Hodge-Strukturen untersucht. Letztere wurden in Saitos tief greifender Theorie der gemischten Hodge-Moduln zusammengefasst, die eindrucksvolle Anwendungen wie Verschwindungssätze für Kohomologie hat. Ein gemischter Hodge-Modul kann als ein besonderer filtrierter \(D\)-Modul aufgefasst werden, welcher ein Gegenstück zu einem System von linearen Differenzialgleichungen bildet. Wir präsentieren in dieser Arbeit den ersten algorithmischen Zugang zu Saitos Theorie, indem wir eine Gröbnerbasis-Theorie für eine Erweiterung der Klasse der PBW-Algebren entwickeln. Die Kategorie der gemischten Hodge-Moduln erfüllt den Sechs-Funktoren-Formalismus von Grothendieck. Die Konstruktion dieser Funktoren beruht teilweise auf einer zusätzlichen natürlichen Filtration, der sogenannten \(V\)-Filtration. Ein Hauptresultat dieser Arbeit ist ein Algorithmus für die Berechnung der \(V\)-Filtration von solchen besonderen filtrierten \(D\)-Moduln. Daraus leiten wir dann insbesondere Methoden für die Berechnung des (außergewöhnlichen) direkten Bild-Funktors unter offenen Einbettungen von Komplementen von reinen Kodimension eins Untervarietäten her. Als Nebenresultate erläutern wir die Berechnung der Verschwindungszykel- und Nahebeizykel-Funktoren und eines Quasiinversen der Kashiwara-Äquivalenz für gemischte Hodge-Moduln. Indem wir diese Funktoren durch lokale Koordinaten beschreiben und lokale Schnitte nehmen, reduzieren wir die entsprechenden Berechnungen auf Algorithmen über gewissen bifiltrierten Algebren. Für diese Algorithmen führen wir die Klasse der sogenannten PBW-Reduktionsalgebren, eine Erweiterung der Klasse der PBW-Algebren, ein. Wir entwickeln eine umfassende Gröbnerbasis-Theorie für diese Erweiterung, wobei die beteiligten Filtrationen mittels Gewichtsvektoren dargestellt werden.