Johannes Schmitt

• Symplectic linear quotient singularities belong to the class of symplectic singularities introduced by Beauville in 2000. They are linear quotients by a group preserving a symplectic form on the vector space and are necessarily singular by a classical theorem of Chevalley-Serre-Shephard-Todd. We study \(\mathbb Q\)-factorial terminalizations of such quotient singularities, that is, crepant partial resolutions that are allowed to have mild singularities. The only symplectic linear quotients that can possibly admit a smooth \(\mathbb Q\)-factorial terminalization are by a theorem of Verbitsky those by symplectic reflection groups. A smooth \(\mathbb Q\)-factorial terminalization is in this context referred to as a symplectic resolution and over the past two decades, there is an ongoing effort to classify exactly which symplectic reflection groups give rise to quotients that admit symplectic resolutions. We reduce this classification to finitely many, precisely 45, open cases by proving that for almost all quotients by symplectically primitive symplectic reflection groups no such resolution exists. Concentrating on the groups themselves, we prove that a parabolic subgroup of a symplectic reflection group is generated by symplectic reflections as well. This is a direct analogue of a theorem of Steinberg for complex reflection groups. We further study divisor class groups of \(\mathbb Q\)-factorial terminalizations of linear quotients by finite subgroups \(G\) of the special linear group and prove that such a class group is completely controlled by the symplectic reflections - or more generally junior elements - contained in \(G\). We finally discuss our implementation of an algorithm by Yamagishi for the computation of the Cox ring of a \(\mathbb Q\)-factorial terminalization of a linear quotient in the computer algebra system OSCAR. We use this algorithm to construct a generating system of the Cox ring corresponding to the quotient by a dihedral group of order \(2d\) with \(d\) odd acting by symplectic reflections. Although our argument follows the algorithm, the proof does not logically depend on computer calculations. We are able to derive the \(\mathbb Q\)-factorial terminalization itself from the Cox ring in this case.
• Symplektische lineare Quotientensingularitäten gehören zur Klasse der symplektischen Singularitäten, die 2000 von Beauville eingeführt wurden. Es handelt sich um lineare Quotienten nach Gruppen, die eine symplektische Form auf dem Vektorraum erhalten und daher nach einem klassischen Satz von Chevalley-Serre-Shephard-Todd notwendigerweise singulär sind. Wir betrachten \(\mathbb Q\)-faktorielle Terminalisierungen solcher Quotientensingularitiäten, das heißt krepante partielle Auflösungen, die milde Singularitäten haben können. Die einzigen symplektischen linearen Quotienten, die potentiell eine glatte \(\mathbb Q\)-faktorielle Terminalisierung haben können, sind nach einem Satz von Verbitsky jene nach symplektischen Spiegelungsgruppen. Eine glatte \(\mathbb Q\)-faktorielle Terminalisierung wird in diesem Kontext als symplektische Auflösung bezeichnet und über die vergangenen zwei Jahrzehnte gibt es andauernde Bestrebungen genau die symplektischen Spiegelungsgruppen zu klassifizieren, die zu Quotienten führen, welche eine symplektische Auflösung zulassen. Wir reduzieren diese Klassifikation auf endlich viele, nämlich 45, offene Fälle, indem wir zeigen, dass für fast alle Quotienten nach symplektisch primitiven symplektischen Spiegelungsgruppen keine solche Auflösung existiert. Mit dem Fokus auf die Gruppen selbst zeigen wir, dass eine parabolische Untergruppe einer symplektischen Spiegelungsgruppe wiederum von symplektischen Spiegelungen erzeugt ist. Dies entspricht einem Satz von Steinberg für komplexe Spiegelungsgruppen. Wir betrachten außerdem Divisorenklassengruppen von \(\mathbb Q\)-faktoriellen Terminalisierungen von linearen Quotienten nach endlichen Untergruppen \(G\) der speziellen linearen Gruppe und zeigen, dass solch eine Klassengruppe vollständig von den in \(G\) enthaltenen symplektischen Spiegelungen - oder allgemeiner Juniorelementen - kontrolliert wird. Abschließend diskutieren wir unsere Implementierung eines Algorithmus von Yamagishi zur Berechnung des Cox Rings einer \(\mathbb Q\)-faktoriellen Terminalisierung eines linearen Quotienten im Computeralgebrasystem OSCAR. Mit diesem Algorithmus konstruieren wir ein Erzeugendensystem des Cox Rings, der zu einem Quotienten nach einer Diedergruppe der Ordnung \(2d\) mit \(d\) ungerade korrespondiert, die via symplektischer Spiegelungen operiert. Obwohl unsere Argumentation auf den Algorithmus aufbaut, ist der Beweis logisch unabhängig von Computerberechnungen. Wir sind in diesem Fall in der Lage die \(\mathbb Q\)-faktorielle Terminalisierung aus dem Cox Ring abzuleiten.