Maria Eckardt

• Experimental evidence suggests that cells can perceive signals not only at their actual location but also within a large neighborhood compared to the cell size. These biochemical and biophysical cues influence the migration, proliferation, and differentiation of cells. In this work, we examine four nonlocal models describing the movement of cell populations. These models are represented by reaction-diffusion(-advection) equations containing nonlocal spatial integral terms that describe the influence of the surroundings on the development of the cell population. Our focus is on the mathematical analysis of these models. Numerical simulations are performed to illustrate the solution behavior. First, we consider two models, in which the gradient in the advection term of the respective local model is replaced by a nonlocal integral. For the first adhesion or nonlocal chemotaxis model, we show convergence of the weak solution to the weak solution of the corresponding local haptotaxis or chemotaxis model, respectively, as the sensing radius decreases. Then, we show the existence of a very weak solution for the second cell-cell-adhesion model with degenerated myopic diffusion. Furthermore, we consider two models with a nonlocality in the reaction term. Specifically, for a model for cancer invasion with myopic diffusion, repellent pH-taxis, and nonlocal intraspecific interaction, we show the global existence of a bounded unique weak solution and visualize its behavior with numerical simulations. Additionally, we perform a 1D pattern analysis. Finally, we show the global existence of a bounded weak solution for a model with two nonlocal interaction terms and perform numerical simulations.
• Experimente haben nachgewiesen, dass Zellen Signale nicht nur an ihrer Position empfangen können, sondern innerhalb eines im Vergleich zur Zellgröße großen Wahrnehmungsradius. Diese biochemischen und biophysischen Signale beeinflussen die Bewegung, Proliferation und Differenzierung von Zellen. In dieser Arbeit betrachten wir vier nichtlokale Modelle, die die Bewegung von Zellpopulationen beschreiben. Die Nichtlokalität wird mittels eines nichtlokalen Raumintegrals modelliert, das in verschiedenen Termen der betrachteten Reaktions-Diffusions-(Advektions-) Gleichungen enthalten ist. Der Fokus liegt dabei auf der mathematischen Analyse dieser Modelle. Auch numerische Simulationen werden durchgeführt, um das Verhalten der Lösung zu veranschaulichen. Wir betrachten zwei Modelle, in denen der Gradient im Advektionsterm durch ein nichtlokales Integral ersetzt wird. Zuerst zeigen wir die Konvergenz der schwachen Lösung eines Modells, das Adhesion oder nichtlokale Chemotaxis beschreibt, gegen die schwache Lösung des jeweils entsprechenden lokalen Haptoxis- oder Chemotaxismodells für einen verschwindenden Wahrnehmungsradius. Anschließend zeigen wir die Existenz einer sehr schwachen Lösung eines Modells für Zell-Zell-Adhesion mit degenerierter myopischer Diffusion. Darüber hinaus betrachten wir zwei Modelle mit Nichtlokalität im Reaktionsterm. Wir zeigen die globale Existenz einer eindeutigen beschränkten Lösung eines Modells für Krebsinvasion mit myopischer Diffusion, abstoßender pH-Taxis und einem nichtlokalen innerartlichen Interaktionsterm und eines Modells mit zwei nichtlokalen Interaktionstermen. Das Verhalten der jeweiligen Lösung wird mithilfe von numerischen Simulationen veranschaulicht. Darüber hinaus analysieren wir für eines der Modelle das Auftreten von Mustern in 1D.