Wolfgang Dornisch

• The main objective of this project is developing an efficient shell element for the large deformation analysis of complex thin-walled structures based on the geometry description of Computer-Aided design (CAD) software. The intended field of application are CAD models of built structures, but applications in other fields of engineering are akin possible. The basic idea is to combine exact geometry description by Non-Uniform Rational B-splines (NURBS) with the interesting properties of the spectral element method (SEM), where nodal points, i.e. discrete points where all unknown quantities are defined, and integration points, i.e. points where the relevant equations are evaluated, coincide. The location of these points and the nodal normal vectors are computed exactly from the CAD model. The discretization effort is kept minimal since the patch-wise definition of the CAD domains is retained. Interpolation of unknown quantities and derivatives thereof are obtained using Lagrange basis functions, which provide a proper and stable base also for high order computations, while the use of NURBS basis functions for the description of the shape of the elements removes the geometrical approximation error. The implemented SEM shell formulation overcomes the major shortcomings of pure isogeometric (IGA) shell formulations, where both geometry and unknowns are interpolated by NURBS functions. The numerical examples show that the developed SEM shell yields stable condition numbers and significantly alleviates locking effects for high orders of basis functions. As expected, a simple rotational formulation is sufficient in SEM to obtain results with comparable accuracy as an IGA shell with complicated rotational formulation. In contrast to the initial hypothesis, we discovered that the intended non-isoparametric formulation using both Lagrange and NURBS basis functions is not required to obtain high accuracy results. The specially developed benchmark parcour has shown that the geometrical approximation error is much smaller than the interpolation error. Thus, we adapted the work programme of the project and implemented an isoparametric spectral shell element (SEMI) formulation. The results of the benchmark parcour revealed that for all examples, the SEMI shell performed as least as good as the IGA shell. Surprisingly, we discovered that especially for complicated geometries, i.e. high and highly changing curvature, the SEMI formulation performed more robust and accurate as the IGA shell. By exploiting the Kronecker-Delta property of SEM, we could show that significant gains in computational costs of element stiffness matrices are possible in comparison to IGA. The project provided a deep understanding of the significance of exact geometry representation, which are of high interest to the shell formulation community. In combination with the shown efficiency of SEM, this paves the way for high efficiency computations of complex geometries using SEM formulations.
• Das Ziel dieses Projekts ist die Entwicklung effizienter Schalen-Elemente für die Berechnung komplexer dünnwandiger Strukturen, basierend auf der Geometriebeschreibung von Computer-Aided Design (CAD) Software. Das primäre Anwendungsgebiet sind CAD-Modelle von Bauwerken, jedoch sind auch Anwendungen in anderen Ingenieurdisziplinen möglich. Die Grundidee ist, die exakte Geometriebeschreibung durch Non-Uniform Rational B-Splines (NURBS) mit den interessanten Eigenschaften der Spektralen-Elemente-Methode (SEM) zu kombinieren, bei der Knoten, d. h. diskrete Punkte, an denen die unbekannten Größen definiert sind, und Integrationspunkte, d. h. Punkte, an denen die relevanten Gleichungen ausgewertet werden, zusammenfallen. Die Lage dieser Punkte und die Knoten-Normalenvektoren werden exakt aus dem CAD-Modell berechnet. Der Diskretisierungsaufwand wird minimiert, da die CAD-Teilgebiete beibehalten werden. Die Interpolation unbekannter Größen und deren Ableitungen erfolgt mit Lagrange-Basisfunktionen, die eine verlässliche Grundlage auch für Berechnungen mit hohen Ansatzordnungen bilden, während die Beschreibung der Elementform durch NURBS-Basisfunktionen den geometrischen Approximationsfehler beseitigt. Die implementierte SEM-Schalenformulierung überwindet einige Nachteile isogeometrischer (IGA) Schalenelemente, bei denen Geometrie und Unbekannte durch NURBS-Funktionen interpoliert werden. Die numerischen Beispiele zeigen, dass die SEM-Schale stabile Konditionszahlen liefert und Locking-Effekte bei hohen Ordnungen der Basisfunktionen signifikant verringert. Wie erwartet reicht eine einfache Rotationsformulierung für SEM aus, um Ergebnisse vergleichbarer Genauigkeit wie eine IGA-Schale mit komplizierter Rotationsformulierung zu erzielen. Im Gegensatz zur anfänglichen Hypothese ist die nicht-isoparametrische Formulierung, die sowohl Lagrange- als auch NURBS-Basisfunktionen verwendet, nicht erforderlich, um präzise Ergebnisse zu erzielen. Der entwickelte Benchmark-Parcours hat gezeigt, dass der geometrische Approximationsfehler viel kleiner ist als der Interpolationsfehler. Daher haben wir das Arbeitsprogramm des Projekts angepasst und eine isoparametrische Spektral-Schalenformulierung (SEMI) implementiert. Im Benchmark-Parcours schneidet die SEMI-Schale in allen Beispielen mindestens genauso gut wie die IGA-Schale ab. Überraschenderweise ist die SEMI-Schale insbesondere bei Geometrien mit hoher und stark variierender Krümmung robuster und genauer als die IGA-Schale. Durch die Ausnutzung der Kronecker-Delta-Eigenschaft der SEM sind signifikante Einsparungen bei den Berechnungskosten der Elementsteifigkeitsmatrizen im Vergleich zu IGA möglich. Das Projekt hat ein tiefes Verständnis für die Bedeutung der exakten Geometrie-Darstellung vermittelt, was für die Schalen-Community von großem Interesse ist. In Kombination mit der gezeigten Effizienz der SEM ebnet dies den Weg für hoch-effiziente Berechnungen komplexer Geometrien unter Verwendung von SEM-Formulierungen.