Vsevolod Laptev

• The present thesis deals with coupled steady state laminar flows of isothermal incompressible viscous Newtonian fluids in plain and in porous media. The flow in the pure fluid region is usually described by the (Navier-)Stokes system of equations. The most popular models for the flow in the porous media are those suggested by Darcy and by Brinkman. Interface conditions, proposed in the mathematical literature for coupling Darcy and Navier-Stokes equations, are shortly reviewed in the thesis. The coupling of Navier-Stokes and Brinkman equations in the literature is based on the so called continuous stress tensor interface conditions. One of the main tasks of this thesis is to investigate another type of interface conditions, namely, the recently suggested stress tensor jump interface conditions. The mathematical models based on these interface conditions were not carefully investigated from the mathematical point of view, and also their validity was a subject of discussions. The considerations within this thesis are a step toward better understanding of these interface conditions. Several aspects of the numerical simulations of such coupled flows are considered: -the choice of proper interface conditions between the plain and porous media -analysis of the well-posedness of the arising systems of partial differential equations; -developing numerical algorithm for the stress tensor jump interface conditions, coupling Navier-Stokes equations in the pure liquid media with the Navier-Stokes-Brinkman equations in the porous media; -validation of the macroscale mathematical models on the base of a comparison with the results from a direct numerical simulation of model representative problems, allowing for grid resolution of the pore level geometry; -developing software and performing numerical simulation of 3-D industrial flows, namely of oil flows through car filters.
• Die vorliegende Arbeit behandelt die Kopplung von stationären laminaren Strömungen isothermer inkompressibler newtonscher Fluide mit endlicher Viskosität in freien Kanälen und porösen Medien. Strömung in freien Kanälen wird üblicherweise durch die (Navier-)Stokes-Gleichungen beschrieben. Die bekanntesten Modelle für Strömung in porösen Medien sind diejenigen von Darcy und Brinkmann. Schnittstellen-Bedingungen aus der mathematischen Literatur für die Kopplung des Darcy-Gesetzes mit den Navier-Stokes-Gleichungen werden kurz besprochen. In der Literatur basiert die Kopplung von Navier-Stokes- und Brinkmann-Gleichungen auf der Stetigkeit des Spannungstensors. Eines der Hauptziele dieser Arbeit ist die Untersuchung einer weiteren Schnittstellenbedingung, und zwar einer kürzlich vorgeschlagenen Sprungbedingung für den Spannungstensor. Die auf diesen Schnittstellenbedingungen basierenden Modelle wurden bisher nicht mathematisch analysiert, und deshalb war ihre Gültigkeit umstritten. Die vorliegende Arbeit leistet einen Beitrag zum besseren Verständnis der Schnittstellenbedingungen. Es werden verschiedene Aspekte der numerischen Simulation solcher gekoppelter Strömungen untersucht: - Geeignete Schnittstellenbedingungen für die Kopplung freier Kanäle mit porösen Medien - Mathematische Analyse des resultierenden Systems partieller Differentialgleichungen - Entwicklung eines numerischen Algorithmus, der auf der Sprungbedingung für den Spannungstensor zur Kopplung von Navier-Stokes- und Brinkmann-Gleichungen basiert. - Verifizierung des mathematischen Modells durch direkte Simulation von Test-Problemen, bei denen die einzelnen Poren des porösen Mediums aufgelöst werden können. - Entwicklung und Anwendung einer Software zur dreidimensionalen Simulation eines Problems aus der Automobilindustrie, und zwar der Strömung von Öl durch einen Filter.