Anmol Goyal

• This work aims at including nonlinear elastic shell models in a multibody framework. We focus our attention to Kirchhoff-Love shells and explore the benefits of an isogeometric approach, the latest development in finite element methods, within a multibody system. Isogeometric analysis extends isoparametric finite elements to more general functions such as B-Splines and Non-Uniform Rational B-Splines (NURBS) and works on exact geometry representations even at the coarsest level of discretizations. Using NURBS as basis functions, high regularity requirements of the shell model, which are difficult to achieve with standard finite elements, are easily fulfilled. A particular advantage is the promise of simplifying the mesh generation step, and mesh refinement is easily performed by eliminating the need for communication with the geometry representation in a Computer-Aided Design (CAD) tool. Quite often the domain consists of several patches where each patch is parametrized by means of NURBS, and these patches are then glued together by means of continuity conditions. Although the techniques known from domain decomposition can be carried over to this situation, the analysis of shell structures is substantially more involved as additional angle preservation constraints between the patches might arise. In this work, we address this issue in the stationary and transient case and make use of the analogy to constrained mechanical systems with joints and springs as interconnection elements. Starting point of our work is the bending strip method which is a penalty approach that adds extra stiffness to the interface between adjacent patches and which is found to lead to a so-called stiff mechanical system that might suffer from ill-conditioning and severe stepsize restrictions during time integration. As a remedy, an alternative formulation is developed that improves the condition number of the system and removes the penalty parameter dependence. Moreover, we study another alternative formulation with continuity constraints applied to triples of control points at the interface. The approach presented here to tackle stiff systems is quite general and can be applied to all penalty problems fulfilling some regularity requirements. The numerical examples demonstrate an impressive convergence behavior of the isogeometric approach even for a coarse mesh, while offering substantial savings with respect to the number of degrees of freedom. We show a comparison between the different multipatch approaches and observe that the alternative formulations are well conditioned, independent of any penalty parameter and give the correct results. We also present a technique to couple the isogeometric shells with multibody systems using a pointwise interaction.
• Diese Arbeit zielt darauf ab, nicht-lineare elastische Schalenmodelle in ein Mehrkörpersystem zu integrieren. Wir konzentrieren unsere Aufmerksamkeit auf Kirchhoff-Love Schalen und untersuchen die Vorteile eines isogeometrischen Ansatzes, der die neueste Entwicklung unter den Finite-Elemente-Methoden darstellt, angewandt auf ein Mehrkörpersystem. Isogeometrische Analyse erweitert isoparametrische finite Elemente auf allgemeinere Funktionen wie B-Splines und Non-Uniform Rational B-Splines (NURBS) und arbeitet auf einer exakten Darstellung der Geometrie - sogar auf der gröbsten Diskretisierung. Wenn man NURBS als Basisfunktionen verwendet, werden die hohen Anforderungen an die Regularität des Schalenmodells, die bei Finiten Elementen schwer zu garantieren sind, einfach erfüllt. Ein besonderer Vorteil ist hierbei das Versprechen, dass die Netzgenerierung vereinfacht wird. Die Netzverfeinerung wird leicht dadurch ermöglicht, dass eine Kommunikation mit der Geometrie-Schnittstelle eines Computer-Aided Design (CAD)-Werkzeuges entfällt. Häufig besteht das Gebiet aus mehreren Abschnitten, wobei jeder Abschnitt mit Hilfe von NURBS parametrisiert ist. Diese Flächenstücke werden dann durch Stetigkeitsbedingungen verklebt. Obwohl die Techniken, die aus der Gebietszerlegung bekannt sind, auch hier angewandt werden könnten, ist die Analyse von Schalenstrukturen wesentlich komplizierter, da zusätzliche Bedingungen zur Erhaltung der Winkel zwischen den Flächen auftreten können. In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit dieser Frage im stationären und transienten Fall und nutzen die Analogie zu mechanischen Systemen, die Gelenke und Federn als Verbindungselemente besitzen. Ausgangspunkt ist der bending strip-Ansatz, der künstlich als Strafterm eine steife Feder an der Grenzfläche zwischen zwei benachbarten Flächen einfügt und zu einem so genannten steifen mechanischen System führt. Solche Systeme führen im Allgemeinen zu schlechter Kondition und starken Schrittweitenbeschränkungen für das Zeitintegrationsverfahren. Als Abhilfe wird eine modifizierte Formulierung entwickelt, die die Konditionszahl des Systems verbessert und die Abhängigkeit von der Größe des Strafterms entfernt. Darüber hinaus untersuchen wir einen weiteren Ansatz, der mit Stetigkeitsbedingungen zwischen Kontrollpunkt-Tripeln an der Schnittstelle arbeitet. Das hier vorgestellte Vorgehen steife Systeme zu lösen ist sehr allgemein und kann auf alle Probleme mit Straftermen angewandt werden, die gewisse Anforderungen an ihre Regularität erfüllen. Die numerischen Beispiele zeigen ein eindrucksvolles Konvergenzverhalten des Isogeometrische Ansatzes auch für grobe Gitter und bieten erhebliche Einsparungen in Bezug auf die Anzahl der Freiheitsgrade. Wir zeigen einen Vergleich zwischen den verschiedenen Mehr-Flächen-Ansätzen und beobachten, dass die alternativen Formulierungen gut konditioniert und unabhängig von der Größe des Strafterms sind und die korrekten Ergebnisse erzielen. Ebenfalls stellen wir ein Vorgehen vor, die Isogeometrischen Schalen durch punktweise Interaktion mit Mehrkörpersystemen zu koppeln.