Christian Laudagé

• Risk management is an indispensable component of the financial system. In this context, capital requirements are built by financial institutions to avoid future bankruptcy. Their calculation is based on a specific kind of maps, so-called risk measures. There exist several forms and definitions of them. Multi-asset risk measures are the starting point of this dissertation. They determine the capital requirements as the minimal amount of money invested into multiple eligible assets to secure future payoffs. The dissertation consists of three main contributions: First, multi-asset risk measures are used to calculate pricing bounds for European type options. Second, multi-asset risk measures are combined with recently proposed intrinsic risk measures to obtain a new kind of a risk measure which we call a multi-asset intrinsic (MAI) risk measure. Third, the preferences of an agent are included in the calculation of the capital requirements. This leads to another new risk measure which we call a scalarized utility-based multi-asset (SUBMA) risk measure. In the introductory chapter, we recall the definition and properties of multi-asset risk measures. Then, each of the aforementioned contributions covers a separate chapter. In the following, the content of these three chapters is explained in more detail: Risk measures can be used to calculate pricing bounds for financial derivatives. In Chapter 2, we deal with the pricing of European options in an incomplete financial market model. We use the common risk measures Value-at-Risk and Expected Shortfall to define good deals on a financial market with log-normally distributed rates of return. We show that the pricing bounds obtained from Value-at-Risk may have a non-smooth behavior under parameter changes. Additionally, we find situations in which the seller's bound for a call option is smaller than the buyer's bound. We identify the missing convexity of the Value-at-Risk as main reason for this behavior. Due to the strong connection between the obtained pricing bounds and the theory of risk measures, we further obtain new insights in the finiteness and the continuity of multi-asset risk measures. In Chapter 3, we construct the MAI risk measure. Therefore, recall that a multi-asset risk measure describes the minimal external capital that has to be raised into multiple eligible assets to make a future financial position acceptable, i.e., that it passes a capital adequacy test. Recently, the alternative methodology of intrinsic risk measures was introduced in the literature. These ask for the minimal proportion of the financial position that has to be reallocated to pass the capital adequacy test, i.e., only internal capital is used. We combine these two concepts and call this new type of risk measure an MAI risk measure. It allows to secure the financial position by external capital as well as reallocating parts of the portfolio as an internal rebooking. We investigate several properties to demonstrate similarities and differences to the two aforementioned classical types of risk measures. We find out that diversification reduces the capital requirement only in special situations depending on the financial positions. With the help of Sion's minimax theorem we also prove a dual representation for MAI risk measures. Finally, we determine capital requirements in a model motivated by the Solvency II methodology. In the final Chapter 4, we construct the SUBMA risk measure. In doing so, we consider the situation in which a financial institution has to satisfy a capital adequacy test, e.g., by the Basel Accords for banks or by Solvency II for insurers. If the financial situation of this institution is tight, then it can happen that no reallocation of the initial endowment would pass the capital adequacy test. The classical portfolio optimization approach breaks down and a capital increase is needed. We introduce the SUBMA risk measure which optimizes the hedging costs and the expected utility of the institution simultaneously subject to the capital adequacy test. We find out that the SUBMA risk measure is coherent if the utility function has constant relative risk aversion and the capital adequacy test leads to a coherent acceptance set. In a one-period financial market model we present a sufficient condition for the SUBMA risk measure to be finite-valued and continuous. Finally, we calculate the SUBMA risk measure in a continuous-time financial market model for two benchmark capital adequacy tests.
• Risikomanagement ist ein unverzichtbarer Bestandteil des Finanzsystems. Hierbei werden Kapitalrücklagen von Finanzinstitutionen gebildet, um eine künftige Insolvenz zu vermeiden. Deren Berechnung basiert auf sogenannten Risikomaßen. Für diese existieren verschiedene Definitionen. Der Ausgangspunkt dieser Dissertation sind Multi-Asset-Risikomaße. Sie bestimmen die Kapitalrücklagen als den minimalen Geldbetrag, der in zulässige Anlagen investiert werden muss, um künftige Auszahlungen abzusichern. Die Dissertation besteht aus drei Beiträgen: Erstens werden Multi-Asset-Risikomaße genutzt um Preisschranken für europäische Optionen zu berechnen. Zweitens werden Multi-Asset-Risikomaße mit den kürzlich eingeführten intrinsischen Risikomaßen kombiniert. Dies führt zu dem neuen Multi-Asset-intrinsischen-Risikomaß (MAI-Risikomaß). Drittens werden die Präferenzen des Marktteilnehmers in der Berechnung der Kapitalrücklagen berücksichtigt. Dies führt zu einem weiteren neuen Risikomaß, dem sogenannten skalarisierten nutzenbasierten Multi-Asset-Risikomaß (SUBMA-Risikomaß). In dem Einführungskapitel wiederholen wir die Definition und Eigenschaften von Multi-Asset-Risikomaßen. Anschließend widmen wir jedem der genannten Beiträge ein eigenständiges Kapitel. Im Folgenden gehen wir auf diese drei Kapitel im Detail ein: Risikomaße können genutzt werden, um Preisschranken für Finanzderivate zu berechnen. In Kapitel 2 behandeln wir die Preisgestaltung von europäischen Optionen in einem unvollständigen Finanzmarktmodell. Wir nutzen die gängigen Risikomaße Value-at-Risk und Expected Shortfall, um sogenannte gute Deals auf einem Finanzmarkt mit log-normalverteilten Renditen zu definieren. Wir zeigen, dass die Preisschranken, die wir aus dem Value-at-Risk erhalten, ein nicht glattes Verhalten bei Parameteränderungen aufweisen. Zusätzlich finden wir Situationen in denen die Schranke des Verkäufers einer Call-Option kleiner ist als die Schranke des Käufers. Wir indentifizieren die fehlende Konvexität des Value-at-Risk als Hauptgrund für dieses Verhalten. Auf Grund der starken Verbindung zwischen den gefundenen Preisschranken und der Theorie der Risikomaße, erhalten wir neue Erkenntnisse über die Endlichkeit und die Stetigkeit von Multi-Asset-Risikomaßen. In Kapitel 3 konstruieren wir das MAI-Risikomaß. Dafür möchten wir daran erinnern, dass Multi-Asset-Risikomaße das minimale externe Kapital beschreiben, welches in mehrere zulässige Anlagen investiert werden muss, so dass die künftige Finanzposition akzeptabel wird, d.h. dass sie die Kapitalanforderungen erfüllt. Kürzlich wurde die alternative Methodik der intrinsischen Risikomaße entwickelt. Diese fragt nach dem minimalen Anteil der Finanzposition, welche reallokiert werden muss, um die Kapitalanforderungen zu erfüllen, d.h. nur internes Kapital wird verwendet. Wir kombinieren diese beiden Konzepte und nennen das neue Risikomaß ein MAI-Risikomaß. Es erlaubt uns, eine Finanzposition sowohl mit externem Kapital als auch durch Reallokieren des Portfolios abzusichern. Wir untersuchen verschiedene Eigenschaften, um Gemeinsamkeiten und Unterschiede zu den zwei oben genannten klassischen Risikomaßen aufzuzeigen. Dabei reduziert Diversifikation die Kapitalrückstellungen nur in speziellen Situationen, welche von den beteiligten Finanzpositionen abhängen. Mit der Hife von Sion's Min-Max Theorem beweisen wir eine Dualdarstellung für MAI-Risikomaße. Abschließend bestimmen wir die Kapitalrückstellungen in einem Modell, das durch Solvency II motiviert ist. Im letzten Kapitel 4 konstruieren wir das SUBMA-Risikomaß. Dafür betrachten wir eine Situation, in welcher eine Finanzinstitution bestimmte Kapitalanforderungen erfüllen muss, bspw. die Basel Abkommen für Banken oder Solvency II für Versicherungen. Wenn die finanzielle Situation der Institution angespannt ist, dann kann es passieren, dass keine der möglichen Reallokationen die Kapitalanforderungen erfüllt. Der klassische Portfoliooptimierungsansatz ist nicht anwendbar und eine Kapitalerhöhung ist erforderlich. Dafür führen wir das SUBMA-Risikomaß ein, dass die Hedging Kosten und den erwarteten Nutzen der Institution zeitgleich unter Berücksichtigung der Kapitalanforderungen optimiert. Wir zeigen, dass das SUBMA-Risikomaß kohärent ist, wenn die Nutzenfunktion konstante relative Risikoaversion besitzt und die Kapitalanforderungen zu einer kohärenten Akzeptanzmenge führen. In einem Ein-Perioden-Modell präsentieren wir eine hinreichende Bedingung, so dass das SUBMA-Risikomaß reellwertig und stetig ist. Abschließend berechnen wir das SUBMA-Risikomaß in einem zeitstetigen Finanzmarktmodell für zwei standardmäßige Kapitalanforderungen.