Dario Mathiä

• Wreath product groups \(C_\ell \wr \mathfrak{S}_n\) have a rich combinatorial representation theory coming from the symmetric group case and involving partitions, Young tableaux, and Specht modules. To such a wreath product group \(W\), one can associate various algebras and geometric objects: Hecke algebras, quantum groups, Hilbert schemes, Calogero--Moser spaces, and (restricted) rational Cherednik algebras. Over the years, surprising connections have been made between a lot of these objects, with many of these connections having been traced back to combinatorial constructions and properties of the group \(W\) itself. In this thesis, we have studied one of the algebras, namely the restricted rational Cherednik algebra \(\overline{\mathsf{H}}_\mathbf{c}(W)\), in order to find combinatorial models which describe certain representation theoretical phenomena around \(\overline{\mathsf{H}}_\mathbf{c}(W)\). In particular, we generalize a result by Gordon and describe the graded \(W\)-characters of the simple modules of \(\overline{\mathsf{H}}_\mathbf{c}(W)\) for generic parameter \(\mathbf{c}\) using Haiman's wreath Macdonald polynomials. These graded \(W\)-characters turn out to be specializations of Haiman's wreath Macdonald polynomials. In the non-generic parameter case, we use recent results by Maksimau to combinatorially express an inductive rule of \(\overline{\mathsf{H}}_\mathbf{c}(W)\)-modules first described by Bellamy. We use our results in type \(B\) to describe the (ungraded) \(B_n\)-character of simple \(\overline{\mathsf{H}}_\mathbf{c}(B_n)\)-modules associated to bipartitions with one empty part. Afterwards, we relate this combinatorial induction to various other algebras and families of \(W\)-characters found in the literature such as Lusztig's constructible characters, as well as detail some connections between generic and non-generic parameter using wreath Macdonald polynomials.
• Kranzproduktgruppen \(C_\ell \wr \mathfrak{S}_n\) besitzen eine umfangreiche kombinatorische Darstellungstheorie, welche sich von dem Spezialfall der symmetrischen Gruppe herleitet, und stark mit Partitionen, Young Tableaux, und Specht-Moduln zusammenhängt. Zu solch einer Kranzproduktgruppe \(W\) können wir verschiedene Algebren und geometrische Objekte assoziieren: Hecke-Algebren, Quantengruppen, Hilbert-Schemata, Calogero--Moser-Räume, und (eingeschränkte) rationale Cherednik-Algebren. Über die Jahre wurden überraschende Zusammenhänge zwischen vielen dieser Konzepte hergestellt, und einige dieser Zusammenhänge finden ihren Ursprung in kombinatorischen Konstruktionen und Eigenschaften der Gruppe \(W\) selbst. In dieser Arbeit haben wir eine dieser Algebren, die eingeschränkte rationale Cherednik-Algebra \(\overline{\mathsf{H}}_\mathbf{c}(W)\), mit dem Ziel untersucht, kombinatorische Modelle für bestimmte darstellungstheoretische Phänomene rundum \(\overline{\mathsf{H}}_\mathbf{c}(W)\) zu finden. Im Speziellen haben wir ein Resultat von Gordon verallgemeinert und die graduierten \(W\)-Charaktere von einfachen \(\overline{\mathsf{H}}_\mathbf{c}(W)\)-Moduln für generischen Parameter \(\mathbf{c}\) beschrieben. Diese \(W\)-Charaktere sind durch eine Spezialisierung von Haimans Kranzprodukt-Macdonald-Polynomen gegeben. In nicht-generischem Parameter verwenden wir kürzlich erschienene Resultate von Maksimau, um eine Induktionsregel von \(\overline{\mathsf{H}}_\mathbf{c}(W)\)-Moduln, welches ursprünglich von Bellamy beschrieben worden ist, kombinatorisch auszudrücken. Wir benutzen unsere Resultate im Typ \(B\), um die (ungraduierten) \(B_n\)-Charaktere von einfachen \(\overline{\mathsf{H}}_\mathbf{c}(B_n)\)-Moduln, welche zu Bipartitionen mit einem leeren Teil assoziiert sind, zu beschreiben. Im Anschluss vergleichen wir unsere kombinatorische Induktion mit anderen Algebren und Familien von \(W\)-Charakteren aus der Literatur wie beispielsweise Lusztigs konstruierbare Charaktere, und detaillieren eine Verbindung zwischen generischem und nicht-generischem Parameter mithilfe von Kranzprodukt-Macdonald-Polynomen.