Riccardo Falconi

• This work aims to study textile structures in the frame of linear elasticity to understand how the structure and material parameters influence the macroscopic homogenized model. More precisely, we are interested in how the textile design parameters, such as the ratio between fibers’ distance and cross-section width, the strength of the contact sliding between yarns, and the partial clamp on the textile boundaries determine the phenomena that one can see in shear experiments with textiles. Among others, when the warp and weft yarns change their in-plane angles first and, after reaching some critical shear angle, the textile plate comes out of the plane, and its folding starts. The textile structure under consideration is a woven square, partially clamped on the left and bottom boundary, made of long thin fibers that cross each other in a periodic pattern. The fibers cannot penetrate each other, and in-plane sliding is allowed. This last assumption, together with the partial clamp, adds new levels of complexity to the problem due to the anisotropy in the yarn’s behavior in the unclamped subdomains of the textile. The limiting behavior and macroscopic strain fields are found by passing to the limit with respect to the yarn’s thickness r and the distance between them e, parameters that are asymptotically related. The homogenization and dimension reduction are done via the unfolding method, which separates the macroscopic scale from the periodicity cell. In addition to the homogenization, a dimension reduction from a 3D to a 2D problem is applied. Adapting the classical unfolding results to both the anisotropic context and to lattice grids (which are constructed starting from the center lines of the rods crossing each other) are the main tools we developed to tackle this type of model. They represent the first part of the thesis and are published in Falconi, Griso, and Orlik, 2022b and Falconi, Griso, and Orlik, 2022a. Given the parameters mentioned above, we then proceed to classify different textile problems, incorporating the results from other works on the topic and thoroughly investigating some others. After the study is conducted, we draw conclusions and give a mathematical explanation concerning the expected approximation of the displacements, the expected solvability of the limit problems, and the phenomena mentioned above. The results can be found in “Asymptotic behavior for textiles with loose contact”, which has been recently submitted.
• Ziel dieser Arbeit ist es, textile Strukturen im Rahmen der linearen Elastizität zu untersuchen, um zu verstehen, wie die Struktur- und Materialparameter das makroskopisch homogenisierte Modell beeinflussen. Genauer gesagt interessiert uns, wie die textilen Designparameter, biespielweise das Verhältnis zwischen dem Faserabstand und der Querschnittsbreite, die Stärke des Kontaktgleitens zwischen Garnen und die partielle Klemmung an den Textilrändern, die sichtbaren Phänomene bei Scherversuchen mit Textilien bestimmen. Insbesondere interessiert uns der Effekt, wenn sich derWinkel zwischen den Kett- und Schussfäden zuerst nur in der Ebene ändert und, nach Erreichen eines kritischen Scherwinkels, die Textilplatte aus der Ebene kommt und ihre Faltung beginnt. Die betrachtete Textilstruktur ist ein Quadratgewebe, das aus langen dünnen Fasern besteht, die sich in einem periodischen Muster kreuzen und teilweise an dem linken und unteren Rand geklemmt werden. Die Fasern können nicht ineinander eindringen und ein Gleiten in der Ebene ist erlaubt. Diese letzte Annahme, zusammen mit der partiellen Klemmung, fügt dem Problem, aufgrund der Anisotropie im Verhalten des Garns in den nicht geklemmten Teilbereichen des Textils, eine neue Komplexitätsebenen hinzu. Das Grenzverhalten und die makroskopischen Dehnungsfelder werden gefunden, indem man das assymptotische Verhalten des Gewebes in Bezug auf Garndicke r und Abstand e, unter Annahme eines vorgeschriebenen Verhältnisses der beiden Parameter, untersucht. Die Homogenisierung und Dimensionsreduktion erfolgen über ein Entfaltungsverfahren, das die makroskopische Skala von der Periodizitätszelle trennt. Zusammen mit der Homogenisierung wird zusätzlich eine Dimensionsreduktion von einem 3D- auf ein 2D-Problem angewendet. Die Anpassung der klassischen Entfaltungsergebnisse sowohl an die Anisotropie, als auch an das Gitter (die kreuzende und oszillierende Balkenachsen) sind die wichtigsten Werkzeuge in der Arbeit. Sie stellen den ersten Teil der Arbeit dar und sind in Falconi, Griso, and Orlik, 2022b und Falconi, Griso, and Orlik, 2022a veröffentlicht. Anhand der oben genannten Parameter gehen wir dann zur Klassifizierung verschiedener Textilprobleme über, wobei wir die Ergebnisse, die bereits in anderen Arbeiten zu diesem Thema erzielt wurden, einbeziehen und einige andere gründlich untersuchen. Nachdem die Studie durchgeführt wurde, ziehen wir die Schlussfolgerungen und geben eine mathematische Erklärung bezüglich der erwarteten Annäherung der Verschiebungen, der erwarteten Lösbarkeit der Grenzwertprobleme und der oben erwähnten Phänomene. Die Ergebnisse sind in “Asymptotic behavior for textiles with loose contact” zu finden, das kürzlich eingereicht wurde.