Benedikt Eisenhuth

• We analyze infinite dimensional Langevin dynamics with multiplicative noise. Such a dynamic is described via a coupled system of an infinite dimensional differential equation with an infinite dimensional non-linear stochastic differential equation with multiplicative noise. The coupled system is defined on the Cartesian product of two real separable Hilbert spaces \(U\) and \(V\). The non-linearity of the equation is caused by considering external forces, induced by a potential function \(\Phi:U\to (-\infty,\infty]\). Moreover, we allow stochastic perturbations in terms of a multiplicative noise, driven by an infinite dimensional cylindrical Wiener process in \(V\). First, the essential m-dissipativity of the associated Kolmogorov backwards operator \(L^{\Phi}\) on \(L^2(\mu^{\Phi})\) defined on smooth finitely based functions is established. Moreover, we show that the strongly continuous contraction semigroup \((T_t)_{t\geq 0}\) generated by the closure of \(L^{\Phi}\) in \(L^2(\mu^{\Phi})\) is sub-Markovian and conservative. Here, \(\mu^{\Phi}\) is the canonical invariant measure with density \(e^{-\Phi}\) with respect to an infinite dimensional non-degenerate Gaussian measure on \(U\times V\). The main difficulty, besides the non-sectorality of \(L^{\Phi}\), is the coverage of a large class of potentials. Second, we apply a refinement of the abstract Hilbert space hypocoercivity method, developed by Dolbeault, Mouhot and Schmeiser, to derive the hypocoercivity of \((T_t)_{t\geq 0}\). We take domain issues into account and use the formulation in the Kolmogorov backwards setting worked out by Grothaus and Stilgenbauer. The method enables us to explicitly compute the constants determining the exponential convergence rate to equilibrium of \((T_t)_{t\geq 0}\). To utilize this method, we derive a general Poincaré inequality for measures of type \(\mu^{\Phi}\). We also derive the essential m-dissipativity and a second order regularity estimate for a perturbed infinite dimensional Ornstein-Uhlenbeck operator with possibly unbounded diffusion coefficient. In the third part, we use abstract analytic potential theoretic results to construct a right process that solves the martingale problem for the Kolmogorov backwards generator with respect to the equilibrium measure. Under stronger assumptions, we construct a \(\mu^{\Phi}\)-invariant Hunt process with infinite life-time and weakly continuous paths, whose transition semigroup is associated with \((T_t)_{t\geq 0}\). This process provides a stochastically and analytically weak solution to the infinite dimensional Langevin dynamics with multiplicative noise. Hypocoercivity of \((T_t)_{t\geq 0}\) and the identification of \((T_t)_{t\geq 0}\) with the transition semigroups of the processes yields exponential ergodicity of the processes. Finally, we apply our results to degenerate second order in time stochastic reaction-diffusion and Cahn-Hilliard-type equations with multiplicative noise. A discussion of the class of applicable potentials and coefficients governing these equations completes our analysis.
• Wir analysieren unendlichdimensionale Langevin Dynamiken mit multiplikativem Rauschen. Eine solche Dynamik wird durch ein gekoppeltes System beschrieben, welches durch eine unendlichdimensionale Differentialgleichung und eine unendlichdimensionale nichtlineare stochastische Differentialgleichung mit multiplikativem Rauschen gegeben ist. Das gekoppelte System ist auf dem kartesischen Produkt zweier reeller separabler Hilberträume \(U\) und \(V\) definiert. Die Nichtlinearität der Gleichung wird durch die Berücksichtigung externer Kräfte hervorgerufen, die durch die Potentialfunktion \(\Phi:U\to (-\infty,\infty]\) induziert werden. Zusätzlich erlauben wir stochastische Störungen in Form eines multiplikativen Rauschens, das von einem unendlichdimensionalen zylindrischen Wiener Process in \(V\) getrieben wird. Zunächst wird die essentielle m-Dissipativität des zugehörigen Kolmogorov Rückwärtsoperators \(L^{\Phi}\), welcher auf dem Raum der glatten Zylinderfunktionen definiert ist, in \(L^2(\mu^{\Phi})\) etabliert. Außerdem zeigen wir, dass die stark stetige Kontraktionshalbgruppe \((T_t)_{t\geq 0}\), die vom Abschluss von \(L^{\Phi}\) in \(L^2(\mu^{\Phi})\) erzeugt wird, sub-Markovsch und konservativ ist. Hierbei bezeichnet \(\mu^{\Phi}\) das kanonische invariante Maß mit Dichte \(e^{-\Phi}\) bezüglich eines unendlichdimensionalen nicht-entarteten Gaußschen Maßes auf \(U\times V\). Die Herausforderung, neben der Nicht-Sektoralität von \(L^{\Phi}\), ist dabei die Betrachtung einer möglichst großen Klasse von Potentialen. Zweitens wenden wir eine Verfeinerung der von Dolbeault, Mouhot und Schmeiser entwickelten abstrakten Hilbertraum Hypokoerzitivitätsmethode an, um die Hypokoerzitivität von \((T_t)_{t\geq 0}\) herzuleiten. Das heißt wir achten sorgfältig auf Definitionsbereiche und verwenden die von Grothaus und Stilgenbauer ausgearbeitete Formulierung im Kolmogorov Rückwärtsrahmen. Die Methode erlaubt die explizite Bestimmung der Konstanten, die die exponentielle Konvergenzgeschwindigkeit ins Gleichgewicht von \((T_t)_{t\geq 0}\) festlegen. Um diese Methode anzuwenden, beweisen wir eine allgemeine Poincaré Ungleichung für Maße vom Typ \(\mu^{\Phi}\). Wir stellen auch die wesentliche m-Dissipativität und eine Regularitätsabschätzungen zweiter Ordnung für einen gestörten unendlichdimensionalen Ornstein-Uhlenbeck Operator mit möglicherweise unbeschränktem Diffusionskoeffizienten bereit. Im dritten Teil benutzen wir Methoden der analytischen Potentialtheorie, um einen stochastischen Prozess zu konstruieren, der das Martingalproblem für den Kolmogorov Rückwärtsoperator bezüglich des Gleichgewichtsmaßes löst. Unter stärkeren Annahmen konstruieren wir einen \(\mu^{\Phi}\)-invarianten Hunt Prozess, mit schwach stetigen Pfaden und unendlicher Lebensdauer, dessen Übergangshalbgruppe mit \((T_t)_{t\geq 0}\) assoziiert ist. Dieser Prozess löst die unendlichdimensionale Langevin Dynamik mit multiplikativem Rauschen im stochastisch und analytisch schwachen Sinne. Hypokoerzitivität von \((T_t)_{t\geq 0}\) und die Identifikation von \((T_t)_{t\geq 0}\) mit den Übergangshalbgruppen der Prozesse resultieren in exponentieller Ergodizität der Prozesse. Schließlich wenden wir unsere Ergebnisse auf entartete stochastische Reaktions-Diffusions und Cahn-Hilliard Gleichungen, zweiter Ordnung in der Zeitvariablen, mit multiplikativem Rauschen an. Eine Diskussion der Klasse zulässiger Potentiale und Koeffizienten, die diese Gleichungen beschreiben, vervollständigt unsere Analyse.