Fabian Chlumsky-Harttmann

• Many real-world optimization problems not only involve multiple conflicting objective functions, but also a degree of uncertainty in these functions. This thesis considers problems where the outcome of any chosen solution from the decision space is not known precisely. For example, this may be due to measurement errors or unknown future developments. In order to find robust solutions to uncertain multi-objective optimization problems, several approaches are developed: First, the problem can primarily be seen as a robust optimization problem. Such problems can be solved either by an iterative optimization-pessimization approach or through reformulation. We also show that these methods can be applied to uncertain multi-objective problems. Specifically, we show for four different concepts of multi-objective robustness that optimization-pessimization can be used to determine robust solutions and that lower and upper bounds are produced in the process. Convergence conditions are derived. For a particular type of problem, we also show that reformulation is a viable approach. Alternatively, the problem can be seen as a multi-objective optimization problem, but with the added difficulty that the aim is to find a robust solution. A generalized version of the dichotomic search method from bi-objective optimization is developed, in which, in every iteration, an uncertain single-objective problem has to be solved. Convergence of this method for polyhedral uncertainty sets is shown. On the way, some other results are derived: The dichotomic search is extended from bi-objective linear problems to bi-objective linear minmax problems. By applying the abovementioned methods, we receive various algorithms that enable finding point-based minmax robust and regret robust efficient solutions. The numerical properties of these algorithms are compared and discussed. Throughout the thesis, the concepts of (extreme) supported efficiency and nondominance play an essential role. However, different characterizations of (extreme) supported nondominance exist. The relationship between the different definitions is investigated in this thesis for general problems and special problem classes such as discrete, linear, or bi-objective problems. The notion of (extreme) supported nondominatedness/efficiency is extended to multi-objective robust optimization.
• Viele reale Optimierungsprobleme beinhalten nicht nur mehrere miteinander in Konflikt stehende Zielfunktionen, sondern auch ein gewisses Maß an Unsicherheit in diesen Funktionen. In dieser Arbeit werden Probleme betrachtet, bei denen der Zielfunktionswert einer gewählten Lösung aus dem Entscheidungsraum nicht genau bekannt ist. Dies kann zum Beispiel auf Messfehler oder auf unbekannte zukünftige Entwicklungen zurückzuführen sein. Um robuste Lösungen für unsichere Mehrzieloptimierungsprobleme zu finden, werden mehrere Ansätze entwickelt: Erstens kann das Problem primär als ein \emph{robustes} Optimierungsproblem betrachtet werden. Solche Probleme können entweder durch einen iterativen Ansatz von abwechselnder Optimierung und Pessimierung oder durch Umformulierung gelöst werden. Wir zeigen, dass diese Methoden auch auf unsichere \emph{multikriterielle} Probleme angewendet werden können. Konkret zeigen wir für vier verschiedene Konzepte der Mehrzielrobustheit, dass Optimierung-Pessimierung verwendet werden kann, um robuste Lösungen zu bestimmen und dass dabei untere und obere Schranken erzeugt werden. Konvergenzbedingungen werden abgeleitet. Für einen speziellen Problemtyp wird gezeigt, dass auch Reformulierung einen gangbaren Weg darstellt. Alternativ kann das Problem als ein multikriterielles Optimierungsproblem betrachtet werden, allerdings mit der zusätzlichen Schwierigkeit, dass eine robuste Lösung gefunden werden soll. Es wird eine verallgemeinerte Version der dichotomischen Suche aus der bikriteriellen Optimierung entwickelt, bei der in jeder Iteration ein unsicheres einkriterielles Problem gelöst werden muss. Die Konvergenz dieser Methode für polyedrische Unsicherheitsmengen wird gezeigt. Auf dem Weg dorthin werden einige weitere Ergebnisse abgeleitet: Die dichotomische Suche wird von linearen bikriteriellen Problemen auf lineare bikriterielle Minmax-Probleme erweitert. Durch Anwendung der oben beschriebenen Methoden erhalten wir verschiedene Algorithmen, die es ermöglichen, point-based minmax-robuste und regret-robuste effiziente Lösungen zu finden. Die numerischen Eigenschaften dieser Algorithmen werden verglichen und diskutiert. In der gesamten Arbeit spielen die Konzepte der (extremen) supported efficiency eine wichtige Rolle. In der Literatur existieren jedoch unterschiedliche Charakterisierungen hiervon. Die Beziehung zwischen den verschiedenen Definitionen wird in dieser Arbeit sowohl für allgemeine Probleme als auch für spezielle Problemklassen wie diskrete, lineare oder bikriterielle Probleme untersucht. Der Begriff der (extreme) supported efficiency wird auf die multikriterielle robuste Optimierung erweitert.