Oliver Weeger

• In this thesis we present a new method for nonlinear frequency response analysis of mechanical vibrations. For an efficient spatial discretization of nonlinear partial differential equations of continuum mechanics we employ the concept of isogeometric analysis. Isogeometric finite element methods have already been shown to possess advantages over classical finite element discretizations in terms of exact geometry representation and higher accuracy of numerical approximations using spline functions. For computing nonlinear frequency response to periodic external excitations, we rely on the well-established harmonic balance method. It expands the solution of the nonlinear ordinary differential equation system resulting from spatial discretization as a truncated Fourier series in the frequency domain. A fundamental aspect for enabling large-scale and industrial application of the method is model order reduction of the spatial discretization of the equation of motion. Therefore we propose the utilization of a modal projection method enhanced with modal derivatives, providing second-order information. We investigate the concept of modal derivatives theoretically and using computational examples we demonstrate the applicability and accuracy of the reduction method for nonlinear static computations and vibration analysis. Furthermore, we extend nonlinear vibration analysis to incompressible elasticity using isogeometric mixed finite element methods.
• In dieser Arbeit stellen wir eine neuartige Methode für die nichtlineare Frequenzanalyse von angeregten mechanischen Schwingungen vor. Zur effizienten Ortsdiskretisierung der partiellen Differentialgleichungen der nichtlinearen Kontinuumsmechanik wenden wir das Prinzip der isogeometrischen Analyse an. Die isogeometrische Finite Elemente Methode bietet im Vergleich zu klassischen Finiten Elemente-Diskretisierungen zahlreiche Vorteile, insbesondere eine exakte Geometriedarstellung und höhere Genauigkeit der numerischen Approximationen mittels Spline-Funktionen. Anschließend verwenden wir die Harmonic Balance Methode zur Berechnung der nichtlinearen Schwingungsantwort bei periodischen externen Anregungen. Dabei wird die Lösung des aus der Ortsdiskretisierung resultierenden, nichtlinearen gewöhnlichen Differentialgleichungssystems im Frequenzraum als abgeschnittene Fourierreihe entwickelt. Um eine effektive Anwendung der Methode auf große Systeme im Rahmen von industriellen Problemen zu ermöglichen, ist eine Modellreduktion der Ortsdiskretisierung der Bewegungsgleichung notwendig. Dazu schlagen wir eine modale Projektionsmethode vor, die mit modalen Ableitungen und damit Informationen zweiter Ordnung erweitert wird. Wir untersuchen das Prinzip der modalen Ableitungen theoretisch und demonstrieren anhand numerischer Beispiele die Anwendbarkeit und Genauigkeit der Reduktionsmethode bei der nichtlinearen Frequenzanalyse. Außerdem erweitern wir die nichtlineare Vibrationsanalyse mittels gemischter isogeometrischer Methoden auf inkompressible Elastizität.